L'Oral de Mathématiques aux concours X-Mines-Centrale MP-MP*

Sommaire et contenu du livre "L'Oral de Mathématiques aux concours X-Mines-Centrale MP-MP*"

Table des matières 1 Arithmétique, groupes et anneaux 13 Mines. Une divisibilité par 19 . 14 X. Nombresde Fermat.......... 14 Classique. Racines n-ème d'un rationnel 14 X. Congruence de matrices ... . . . . 15 X. Une divisibilité grâce aux déterminants. 16 X. Dichotomieradicale ............ 16 Mines. Maximisation sur les permutations . 17 Centrale. Partie entière et arithmétique .. 18 Classique. Sous-groupes additifs de lR. . . . 19 Centrale MAPLE. Fonction et inversion de Mübius .. 20 X. Elément idempotent dans un magma associatif fini. . 21 Centrale MAPLE. Calcul des polynômes cyclotomiques. 22 X. Groupes multiplicatifs de .4tn(lR) . 24 X. Sous-groupe compact de (~ln(lR), x) contenant tJ(n) .. 25 Classique. Théorème chinois et fonction indicatrice d'Euler 26 Mines. Une équation dans f';j* . 27 X. Nombre moyen de point fixes d'une permutation . 28 X. Matrice d'un sous-groupe fini de ~ln (lR) vérifiant tr(M) = n. 30 Classique. Théorème de Lagrange, sous-groupe distingué et quotient 31 X. Normes subordonnées et sous-groupes bornés de ~lnUC) ..... 33 X. Sommes des carrés dans un anneau . . .. . 36 Classique. Groupe formé d'éléments involutifs . 37 X. Invariants d'une action de groupe . 38 Mines. Inversibles de (7l,/p7l' +x,) .40 Centrale. Forme irréductible de la somme partielle harmonique 41 X. ThéorèmedeLiouville ..................... 41 2 Polynômes et fractions 45 Centrale. Irrationalité de l'exponentielle d'un rationnel non nul 46 X. Carré formé par les racines d'un polynôme 47 X. Equation polynomiale . 48 X. Polynômes scindés 1 . 49 Mines. Polynômesscindés2 .......... 50 Classique. Polynômes de Tchebycheff . . . . . 51 Centrale. Polynômesstables.......... 53 Classique. Une relation entre les racines de P et celles de p' . 54 X. Polynômeannulateurettrace . . . . . . . . . . . . 54 Classique. PolynômesdeLegendre .............. 55 X. Polynômes de Hilbert, fractions associées. . . . ..... 56 Mines. Application des déterminants de Vandermonde . . . 58 X. Polynômesetdérivéesitérées .. . . . . . . . . . . . . . 59 Classique. Continuité des racines d'une suite de polynômes 61 Mines. Dualité sur un espace de polynômes ... 62 Centrale MAPLE. Suites, polynômes et fractions 63 Centrale MAPLE. Discriminant généralisé 66 3 Espaces vectoriels et matrices 69 X. Indice de nilpotence en dimension finie 70 Mines. Caractère libre d'une famille de fonctions 71 X. InégalitédeFrobenius............. 71 Mines. Si f +9 est bijectif et f 0 9 estnul....... 72 Mines. Caractérisation de la nilpotence par les traces . 72 Mines. Calcul matriciel . 73 X. Racinecarréedematrice ............... 73 Mines. Comparaison des rangs de A, tAA et At A ... 74 X. Inversibilité des composantes d'une matrice par blocs 74 Mines. Polynômesde matrices. . . . . . . . . . . . 75 Mines. Utilisation des matrices de rang 1 . 75 Centrale. Inverse dans une sous-algèbre de .An(lR) . 76 Classique. Noyaux itérés . 76 Mines. Vecteur propre commun à deux projecteurs . 78 Centrale. Projecteur défini par une moyenne arithmétique 78 Mines. Si AB -BA = B... .. 79 Centrale. Dimension d'un commutant . 80 Centrale MAPLE. Algèbre de Lie . 81 Mines. Semblables dans .An(rC), dans .An(lR) . 83 Classique. Matrices compagnon et commutant d'un cyclique 83 Centrale. Effet d'un hyperplan affine stable . . . . . . . . . 85 X. Somme nilpotente de matrices ..... 86 X. Matricesdemêmenoyau . . . . . . . . . . 86 Classique. Centre multiplicatif de .An(lK) . . 87 X. Matrices à diagonale dominante . . . . . . 88 Mines. Sous-espaces stables par une matrice . . . . . . . . . . . . . 89 Classique. Sous-espaces stables par un élément de .A3 (lR) (dualité) 90 Centrale. Propriétésdelacomatrice . . . . . . . . . . 91 Centrale. Equation A = com(A) . 92 Centrale. Supplémentaires anticommutant dans ~(E) 93 Centrale. Etude des matrices de trace nulle . 94 X. Automorphismes d'algèbre de .An(lK) ... 96 Classique. Théorème de Carathéodory . . . . 98 X. Une factorisation sur les endomorphismes 99 4 Déterminants 101 X. Déterminant de la transposition 102 Centrale. Spectre et déterminant . 102 Déterminants de Vandermonde 103 Classique. Classique. Déterminant tridiagonal . . . . 104 Mines. Déterminant à paramètres et expression d'un inverse. 105 X. Basesdemêmeorientation . . . . . . . . . . . . . 106 Classique. Rang et déterminants extraits . 107 Centrale. Calcul d'un déterminant lié à un polynôme 107 Classique. Déterminant des lai -aj 1. 109 Mines. Déterminant et dérivation . . . . . . . . . . . 110 Classique. Déterminantcirculant . . . . . . . . . . . 111 X. Somme des cofacteurs d'une matrice antisymétrique. 113 Mines. Calcul par adjonction d'une dimension . 114 Centrale. Déterminants dans des ensembles particuliers de matrices. 115 X. Déterminants de Cauchy, de Hilbert. . . . 116 X. Déterminant résultant de deux polynômes . . . . . . . . . . . . 118 5 Réduction 121 Mines. Antécédent d'une matrice diagonalisable par un polynôme . . . . . . . 122 Mines. Stabilitéparunematriceréelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 122 X. Un polynôme de lR2 fX] peut-il être minimal pour une matrice de .A3(lR)? 122 Centrale. Inversibilité de f + 9 si f estbijectif.............. .... 123 Mines. Dimension d'un commutant et réduction ..... 123 Classique. Diagonalisation ou trigonalisation simultanée 124 X. Application de la base incomplète . . . . . . . . . . 125 Mines. Trigonalisation simultanée 2. . . . . . . . . . . 126 X. Trigonalisation simultanée 3 . . . . . . . . . . . . . 126 Mines. Sous-espaces stables par un élément de .A3 (lR) 127 Mines. Revenir à un système d'équations 128 X. Polynômesannulateurs................ 129 X. Matrice hermitienne . 130 Classique. Critère de non-diagonalisabilité sur C . 131 Mines. Existence d'un polynôme annulateur fonction du rang 132 X. Etude de projecteurs de même rang. . . . 132 Mines. Vecteurs propres et transposée de la comatrice 133 X. Un spectre non trivial . 133 X. Un endomorphisme sur les endomorphismes .. 135 Centrale. Caractérisation de spectres non disjoints 136 Mines. Si M2 + 4M est diagonalisable... . . . . . . 137 Mines. Etude d'une diagonalisabilité sur IR2n [X] . 138 Classique. Réduction d'une matrice creuse . 138 Centrale MAPLE. Réduction de matrices à paramètres. 139 Mines. Spectre de IdE -uv et IdE -vu ... . 143 Mines. Que dire si u 0 u est diagonalisable? . . . . . . . 143 Mines. Diagonalisation d'une matrice par blocs . 144 Classique. Diagonalisabilité d'un produit tensoriel d'ordre 2 145 X. Diagonalisationparblocs. . . . . . . . . . . . . . . . 146 X. Diagonalisationparblocs2................. 146 Centrale. Suites récurrentes linéaires et vecteurs propres .. 148 Classique. Décomposition D + N (de Dunford) . 152 X. Polynôme minimal d'un polynôme de l'opérateur de dérivation. 153 Classique. Surjectivité de exp: .d'n(C) ----> I§'ln(C) . 155 Classique. Diagonalisabilité de u, de P(u) si P'(u) E GL(E) . 157 6 Espaces préhilbertiens 159 Mines. Racine carrée d'un endomorphisme autoadjoint positif 160 X. Module d'une somme vs. somme des modules . 161 X. Somme de matrices et orthogonalité. . . . . . . . . . . . 162 Mines. Produit scalaire usuel sur .d'n(IR), norme du produit 162 X. Une partie finie de la sphère unité d'un espace euclidien 164 Mines. Caractérisation des similitudes . 164 Mines. Caractérisation des projecteurs orthogonaux . 165 Mines. Conjugaison d'une rotation par une symétrie .... 165 Centrale. Sur les endomorphismes autoadJoints . . . . . . . 166 Mines. Optimisations de sommes sur tJ(n) .......... 167 Mines. Matrice de rotation . 168 Mines. Somme normalisée des endomorphismes de permutation 169 Mines. Décomposition d'un automorphisme orthogonal. 170 Classique. Décomposition polaire d'une matrice . 171 Mines. Exponentielle d'un produit vectoriel . 172 Centrale MAPLE. Programmation de Gram-Schmidt . 173 X. Minimisation d'une intégrale à paramètre . 174 Classique. Décomposition d'Iwasawa . 175 Classique. Décomposition de Cholesky . . . . . . . .. 175 Centrale. Constructions d'endomorphismes remarquables. 177 Classique. Matricesde Gram ................ 178 X. Réduction des matrices antisymétriques . 180 X. Orthogonalité et minimisation avec les polynômes de Tchebycheff 182 Classique. Endomorphismes et matrices antisymétriques 184 Classique. Orthogonalité des polynômes d'Hermite ... 186 Classique. Orthogonalité des polynômes de Legendre .. 188 X. Famillesobtusangles .................. 190 Centrale MAPLE. Projection orthogonale dans IR2n[X] . 192 Mines. Exemples d'orthogonaux . 194 Classique. Polynômes de Laguerre . 196 X. Construction d'une forme linéaire avec restriction . 198 Classique. Polynômes orthogonaux associés à un poids 199 7 Matrices symétriques, formes quadratiques 203 Centrale. Majorationdurayon spectral................... .. 204 X. Trace d'un produit d'éléments de Y,;(lR) . 204 Centrale. Somme orthogonale de deux matrices symétrique/antisymétrique 205 Mines. Approximations d'un vecteur propre . 207 X. Action de ~ln(lR) sur une matrice symétrique . 208 X. Inversion de l'ordre sur Yn++(lR) . 209 Mines. Majoration du déterminant par la norme sup .. 209 Mines. Caractère défini positif d'une forme quadratique 210 Mines. Une inégalité de convexité . 211 Centrale MAPLE. Bornes impliquant une forme quadratique .... 212 X. Comparaison des sphères unité associées à deux produits scalaires. 213 X. Forme quadratique puis construction matricielle . . . 214 Classique. Réduction simultanée de deux formes quadratiques, application 215 X. Matrice positive à termes diagonaux strictement négatifs . . . . . . . . 216 Mines. Comparaison trace-rang d'une matrice symétrique réelle . 217 X. Théorème du minimax de Courant-Fischer . 218 Classique. Caractère positif et défini-positif des matrices symétriques réelles 219 X. Une matrice symétrique définie positive . 220 8 Géométrie 223 X. Géométrie élémentaire dans l'espace .... .. 224 Centrale. Réduction, tracé de coniques/quadriques 224 Centrale. Etude d'une courbe paramétrée ..... 226 Centrale MAPLE. Famille de courbes paramétrées 227 Aire de la boucle du folium de Descartes. 230 Classique. Centrale. Orthoptique d'une parabole . 232 Centrale. Cylindre défini par génératrices et directrice 233 Centrale. Etude d'une courbe orthoptique . 234 Centrale. Projection de l'origine sur une famille de plans 235 Centrale MAPLE. Courbe polaire, aire d'une boucle . 236 X. PointdeFermat.................... 238 Mines. Aire d'un triangle construit sur une hyperbole 240 X. Courbe orthoptique de l'ellipse (cercle de Monge) 241 Centrale. Equation cartésienne d'un cône . 242 Centrale. Ellipse inscrite dans un triangle de racines . 243 Classique. Equation intrinsèque d'une courbe plane .. 245 Classique. Equation intrinsèque d'une courbe plane 2 . 245 Classique. Une surface réglée . 246 Centrale. Surface réglée et développable . . . 247 Centrale. Tangentes à l'hippopède . 249 Centrale MAPLE. Podaire de l'hyperboloïde. 253 X. Dénombrabilité d'une famille de tripodes ..... 255 Centrale. Sommets des paraboles à tangente imposée 256 9 Suites et espaces vectoriels normés 259 Classique. e estirrationnel ................... 260 Classique. Lemme de Cesàro, application à Un+l = sin(un) . 260 Classique. Cesàro(variante) ................. 262 Normes de Hûlder . 263 Classique. Centrale. Suite récurrente et intégrales à paramètre. . .. 265 Centrale. Convergence d'une suite récurrente d'ordre deux 268 Centrale. Limite d'une suite matricielle . 269 Mines. Normes subordonnées d'une forme linéaire. 270 Mines. Fonction pseudo-contractante . 271 X. Semi-norme sur .4tn(lR) . 272 Mines. Limite de sin(27rn!e) . 274 Mines. Série matricielle . 275 X. Equivalent d'un produit en +00 . 276 Centrale. Méthode de Jacobi . 278 Mines. Méthode de Newton pour une racine carrée de matrice. . . . . . 279 Centrale MAPLE. Etude informatique d'une suite définie implicitement 281 Mines. Etude de l'équivalence de deux normes. 283 X. ThéorèmedeKorovkin .......................... 284 10 Topologie 287 X. Séparation d'un point et d'un compact convexe . 288 Centrale. Les applications linéaires surjectives forment un ouvert 289 X. Moyenne des itérés d'un endomorphisme . 290 X. Valeurs d'adhérence de (cos(In(n)))n . 290 Classique. Adhérence des matrices inversibles, diagonalisables 291 X. Densité des quotients d'une suite . 292 Centrale. Problèmes de distance . 293 Intérieur d'une classe de similitude 294 Classique. Mines. Fonction faiblement contractante . 295 Classique. ThéorèmedeBaire . . . . . . . 296 Théorème de Banach-Steinhaus 297 Classique. Classique. Lemme de la puce, application 298 X. Intérieur des matrices diagonalisables . 299 Centrale. Croissance locale du rang .... 300 X. Transvections, connexité de 3'ln(IR) . 301 X. Topologie des classes de similitudes . . 303 Centrale. Ensemble de Julia d'un polynôme 304 11 Fonctions d'une variable 307 Classique. Convexité et signe . 308 X. Pré-image d'un segment par une application continue 308 Classique. Une majoration sur les complexes. 309 Rolle à l'infini . 309 Classique. Centrale. Fonction régulières et idempotentes 310 X. Une inéquation différentielle . 310 X. Majorationdestrapèzes . . . . . . . . . . 311 Classique. Théorème de Darboux . 312 X. Fonction sous-additive . 312 X. Minimisation d'intégrales . 313 X. Application de l'inégalité de Taylor-Lagrange. 315 X. Un théorème des valeurs intermédiaires . 315 Mines. Fonction implicitement définie par une intégrale 316 Mines. Changements de signes ' 317 X. Fonctions pseudo-convexes . . . . . 318 Mines. Une équation fonctionnelle .. 319 X. LemmedeCroft ........... 321 Centrale. Utilisation de Taylor-Young 322 Classique. Problème de Monty-Hall .... 324 Centrale MAPLE. Un calcul de probabilité 324 12 Intégration 327 Centrale. Existence, calcul d'intégrales . 328 X. Fonction intégrable et décroissante sur 1R+ . . . . 329 Centrale MAPLE. Fonction définie par une intégrale 329 X. Intégrabilité et uniforme continuité sur 1R+ . 331 Centrale. Une identité sur les intégrales . 332 Classique. Une propriété géométrique de l'intégrale 333 Mines. Calcul d'une intégrale impropre .. 334 Mines. Etude d'une suite d'intégrales . 335 Centrale. Etude d'une suite d'intégrales 2 . 336 X. Une propriété des fonctions entières . 338 X. Etude d'une intégrabilité . 339 Classique. Sommes de Riemann généralisées 340 Mines. Sommes de Riemann généralisées 2 . 341 X. Sommes inverses de Riemann .. . . .. ..... 342 Mines. Calcul d'une intégrale par ses sommes de Riemann 343 Classique. Sommes de Riemann sur un intervalle 344 Mines. Intégrale à paramètre complexe . . . . . . . . 345 Mines. Une inégalité intégrale . 346 Classique. Variante du lemme de Lebesgue. . . . 347 Classique. Intégration des relations de comparaisons 349 Centrale. Une somme équivalente aux intégrales partielles 351 X. Calcul d'une intégrale à deux paramètres . 352 Mines. Calcul d'une intégrale à paramètre . 354 Mines. Intégration des relations de comparaison: application . . . 355 Centrale. Théorèmes abélien, taubérien et transformée de Laplace . 356 X. Continuité d'une intégrale à paramètre . 357 Classique. Transformée de Fourier de la loi normale. 358 Mines. Intégrale à paramètre dans les bornes . . . . 360 Mines. Calcul de l'intégrale de Gauss . 362 X. Equivalent d'une intégrale à paramètre . 364 X. Une preuve analytique du théorème de d'Alembert-Gauss 365 Classique. Convolution et approximation de l'unité ..... 367 Centrale. Calcul d'une intégrale par convergence dominée . 368 Centrale. Théorème de la limite centrée . 370 Mines. Intégrale de Dirichlet via une intégrale à paramètre 372 13 Séries numériques 375 Mines. Nature de séries à paramètre . . . .. 376 Mines. Equivalent d'une somme partielle ... 377 Mines. Sommes nulles d'une série numérique 378 Centrale. Transformées d'une série numérique 378 X.Sommesà paramètres. . . . . . . . . . . . 379 Mines. Terme général intégral . . . . . . . . . 380 Centrale. Série et fonction r ................. 382 Classique. Transformation d'Abel (sommation par parties) 383 Mines. Produit infini: convergence, calcul . 384 Mines. Somme de l'inverse d'une somme . 385 Mines. Sommeetpartiesentières ............ 387 Centrale. Règlede Raabe ................ 388 Classique. Preuve de la formule de Stirling par Wallis 389 X. Sommation par paquets 390 X. Série à termes positifs .... . 391 X. Autour d'une somme alternée . 391 Centrale. Regroupements dans une série 393 Mines. Séries et intégrales impropres . . 394 X.Etuded'unesériedouble .......... 396 X. Etude conjointe de trois séries numériques 397 X. Décomposition en série factorielle d'un réel . 399 X. Approximations d'un réel par des séries pseudo-alternées 401 14 Suites et séries de fonctions 403 X. Convergence uniforme d'une suite de fonctions polynomiales 404 Mines. Calcul explicite d'une somme . 405 Centrale. Produit de fonctions . 405 X. Convergence simple d'une suite de fonctions équilipschitziennes 406 Mines. Suite, puis série de fonctions .. . . 407 X. Construction d'une suite de fonctions . 408 X. Second théorème de Dini . . . . . . 409 Centrale. Weierstrass par convolution. 410 Centrale. Intégrabilité d'une somme . 411 Mines. Interversion somme/intégrale . 412 Mines. Equivalentd'unesomme. . . . . . . . . . . 413 Centrale. Relation fonctionnelle et série de fonctions . . . . . 414 X. Développements asymptotiques d'une intégrale à paramètre 415 Mines. Dérivabilitéd'unesomme . . . . . . . . . . . . . 416 X. Premier théorème de Dini sur les séries de fonctions. 417 Mines. Régularitéd'unesomme. . . . . . . . . . . 418 Classique. Intégration d'une série de fonctions . . . 420 Centrale. Vers le développement eulérien du sinus. 421 Mines. Intégrale à paramètre vs. série de fonctions 423 15 Séries entières 427 Mines. Rayondeconvergence . . . . . . . . 428 Centrale MAPLE. Rayon de convergence 2 . 428 X. Rayon de convergence 3 430 Centrale. Comparaison de rayons de convergence 431 Mines. Développement en série entière . . . . . . 431 Mines. Développement en série entière 2 . . . . . . . . 432 Classique. Série génératrice des polynômes d'Hermite. 433 Classique. Fonction non développable en série entière . 435 Classique. Règles de Cauchy et d'Hadamard. . . . . . . 437 X. Etude d'une somme au bord du disque de convergence . . . . . 438 Centrale. Calcul d'une série entière par une équation différentielle. 439 Mines. Sérieentièrep-lacunaire .................. 440 Mines. Développements en série entière d'intégrales elliptiques 441 Centrale MAPLE. Produit de séries entières. . . . . . . . . . . 442 Centrale. Fonction de Bessel et intégrales de Wallis . . . . . . . . . 444 Classique. Théorème abélien ou taubérien sur les séries numériques 446 Classique. Théorèmetaubérienfaible................. 448 Centrale MAPLE. Etude d'une série génératrice. . . . . . . . . . . 449 X. Développement en série entière d'une série de fonctions. . . . . . . 452 Centrale. Développement en série entière via une équation fonctionnelle 453 Centrale M;tPLE. Théorème de Paoli 455 Classique. Equivalent au bord d'une série entière lacunaire. . . . . . . . 458 X. Nombresde Catalan............................ .. 460 Centrale MAPLE. Nombres de Stirling de deuxième espèce, nombres de Bell. 462 16 Séries de Fourier 465 Mines. Toute suite est-elle une suite de coefficients de Fourier? 466 Classique. Calcul de ((2) et ((4) 466 Mines. 7r-périodicité et coefficients de Fourier 27r-périodiques 467 Classique. Si la série de Fourier converge uniformément... 467 Centrale. Un développement en série de Fourier . . . . . . 468 Mines. Coefficients à décroissance rapide . . . . . . . . . . 469 Mines. Inégalité isopérimétrique (ou de Wirtinger) . . . . 470 Centrale. Série de Fourier d'une fonction lipschitzienne. . . . . 470 Mines. Série de Fourier par des développements en série entière . . 471 Centrale. Série de Fourier par des développements en série entière 2 472 Classique. Noyaux de Fejer et Weierstrass trigonométrique. . . . . . 473 Classique. Equation différentielle anticipante 476 Centrale MAPLE. Transformation d'Abel, observation du phénomène de Gibbs 476 Centrale MAPLE. Convolution et séries de Fourier 480 17 Équations différentielles 483 Classique. Système différentiel en z = x + iy . 484 X. Stabilité des solutions d'un système différentiel 484 Classique. Equation d'ordre 1 avec raccordement . 485 Mines. Variation des constantes. . . . . . . . . . . 486 Mines. Variationsdesconstantes2 ............ .. 487 Mines. Equation différentielle linéaire d'ordre 2 avec raccordement . . 488 Classique. Equation différentielle linéaire d'ordre 2 avec raccordement 2 489 Mines. Equation différentielle linéaire d'ordre 2 avec séries entières 491 X. Solutions à support compact d'une équation différentielle. . 492 Classique. Lemme de Gronwall, application à une durée de vie 494 Classique. Une équation non linéaire de Bernouilli 495 X. Variablesséparables. ...................... 496 X. Variables séparables 2 497 Centrale MAPLE. Equation non linéaire, tracé des courbes intégrales. 498 Centrale MAPLE. Système différentiel autonome . . . 501 X. Etudequalitative ................... 503 Centrale MAPLE. Etudequalitative2 . . . . . . . . . 505 X. Recherche de l'ensemble de définition de solutions . 507 X. Intégrale de Dirichlet via une équation différentielle 508 18 Fonctions de plusieurs variables 513 X. Fonctions concaves sur]Rn . . . . . . . . 514 Centrale. Nature des différentielles . . . . . 514 Mines. Calcul d'un Laplacien . . . . . . . . 515 Classique. Changement de variable polaire. 516 Centrale MAPLE. Recherche d'extrema . . 517 Centrale MAPLE. Recherche des extrema 2 519 Centrale. Recherche d'extrema 3 . . . . . . 520 Centrale. Recherche d'extrema sur un fermé 521 Classique. Preuve analytique de la réduction simultanée de formes quadratiques 522 Centrale. Equation aux dérivées partielles . . . . . . . . . . 524 Mines. Equation aux dérivées partielles 524 X. Equationauxdérivéespartielles . . . . . . . . . . . . . . 525 Centrale. Difféomorphisme, équation aux dérivées partielles 526 Classique. Intégrales doubles 527 Classique. Centre de masse d'un demi-disque . 529 X. Détermination des différentielles . . . . . . . . . . . 530 X. Plusieurs variables pour une application en algèbre 531 Primitives d'une forme différentielle 533 Classique. Mines. Calcul d'intégrales simples via Fubini 534 Classique. Intégrale de Dirichlet via Green-Riemann . . . . . 536 Classique. Optimisation d'intégrales avec contrainte au bord. 538 X. Applications strictement différentiables . . . . . . . . . . . 540