Exercices de mathématiques oraux x-ens
Algèbre 3

Sommaire et contenu du livre "Exercices de mathématiques oraux x-ens - Algèbre 3"

Table des matieres Introduction 1 Chapitre 1. Espaces euclidiens. Espaces hermitiens 5 1.1. Bornes d'une fonction ou intervient Ie produit scalaire . 5 1.2. Boule contenant n pointsadistancesmutuellessuperieures a2 7 1.3.Familiesobtusangles. ........... 8 1.4. Car acterisation des normes euclidiennes . . . . . . . 10 1.5. Norme d'un end omorphisme syrnetrique 13 1.6. Fonctions additives sur deux vecteurs orthogonaux . 15 1.7. Applications de 'Z} dans ~ additives sur les vecteurs orthogo­naux....................... 18 1.8. Forme lineaire sur un sous-espace de £ (E) 20 1.9. Caracterisation des projecte urs orthogonaux (1) . 21 1.10. Caracterisation des projecteurs orthogonaux (2) 22 1.11. Norme des projetes d'une base orthonormale . . 23 1.12.Pseudo-inverse ................... 25 1.13. Condition pour que deux projecteurs orthogonaux commutent 26 1.14. Composition de projecteurs orthogonaux 27 1.15. Contraction d'un espace euclidien 28 1.16. Distance a un sous-espace de ~[X] .... 30 1.17. Norme euclidienne canonique sur Mn(~) 31 1.18. Distanced'une matrice aI'espacedes matricessyrnetriques 33 1.19. Problemes de minimisation dans Mp,q (~) . 34 1.20.Simplexesreguliers .............. 37 1.21. Decomposition QR et inegalite d'Hadamard 40 1.22. Base orthonormale dans ~ [X] 42 1.23. Polynames de Laguerre 45 1.24. Polynornes d'Hermite 48 1.25. Methode de Gauss . . . 51 1.26. Matrices de Gram . . . 53 1.27. Families equiangulaires 55 1.28. Families isometriques 56 1.29. Image d 'une base orthonorrnee par un projecteur orthogonal 57 1.30. Unematriceorthogonale.................... 58 1.31. Convergence en moye nne des puissances d'une matrice.ortho­gonale .......................... 59 1.32. Orbites sous l'action d'un endomorphisme orthogonal 60 1.33. Generateurs de O(E) . . . . . 61 1.34.TheorernedeMaschke(1898) .............. 62 1.35. Reduction des matrices orthogonales . . . . . . . 63 1.36. Exponentielle de matrices antisyrnetriques reelles 65 1.37.Simplicitede S03 ............ 67 1.38. Polynomes de quatre variables invariants sous I'action de 02(1R) ............................ 70 1.39. Equation fonctionnelle faisan t intervenir Ie groupe orthogonal 72 lAO. Endomorphismes conservant Ie produit vectoriel 73 1.41. Le groupe des quaternions . . . . 74 1.42. Une equation fonctionnelle 76 1.43. Projection sur un convexe ferrne 78 1.44.Lemmede Farkas. . . . . . . . . 80 1.45. Elements de IR n acomposantes positives 82 1.46.Inegalites .................. 84 1.47. Etude de normessur L(E) ou E est hermitien . 86 1048. Condition suffisante pour que deux matrices unitaires com­ rnutent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Chapitre 2. Reduction des endomorphismes auto-adjoints 91 2.1. Codiagonalisation ............... 92 2.2. Puissances d'une matrice syrnetrique 92 2.3. Methode iterative pour une equation lineaire 93 204. Decomposition en somme de droites et plans stables. 95 2.5. Spectre de la difference de deux projecteurs orthogonaux 95 2.6. Produit de deux projecteurs orthogonaux 96 2.7. Framed'unespaceeuclidien . . . . . . . . . . . . . 97 2.8. Matrices atermesdiagonauxegaux . . . . . . . . . 99 2.9. Caracterisation des matrices positives avec la trace 101 2.10. Etude d'un sous-ensemble convexe de IRn x M n(lR) . 102 2.11. Caracterisation des syrnetries orthogonales . . ... 105 2.12. Racine carree d'un endomorphisme auto-adjoint positif 107 2.13. Produit de deux matrices symetriques positives. . . . . 108 2.14. Condition de diagonalisabilite d'une matrice reelle . . . 109 2.15. Condition d'existence de tri vecteurs propres independants . 110 2.16.Vne equationmatricielle.................... 111 2.17. Equation dans L(E) .................... .. 112 2.18. Caracterisation de Sylvester des matrices definies positives 114 2.19. Caracterisation des matrices positives . . . . . . . . . . .. 116 2.20. Matrice syrnetrique de taille 2 acoefficients positifs 117 2.21. Theorems de Perron-Frobenius pour les matrices syrnetriques 118 2.22. Theorerne de Suleimanova (1949) 119 2.23. Matrice de passage acoefficients positifs 121 2.24. Decomposition en valeurs singulieres 123 2.25. Dilatation isornetrique d'une contraction . 125 2.26. Decomposition polaire (1) .. ... .... . 126 2.27. Decomposition polaire (2) . . . . . . . . . . 128 2.28. Points extrernaux de la boule unite de L (E) 130 2.29. Decomposition de Choleski. Decomposition QR . 131 2.30. Inegalite d'Hadamard . . 133 2.31. Inegalite de Fischer 134 2.32. Recherche d'un minimum 136 2.33. Image de S2 par une fonction, ou S est la boule unite 137 2.34. Majoration et minoration d'une fonction . 138 2.35. Inegalite de Kantorovich . 139 2.36. Inegalite de convexite . . . . . . . . . 141 2.37. Theoreme du minimax 142 2.38. Theorems d'entrelacement de Cauchy 144 2.39. Une reciproque au theorems d'entrelacement de Cauchy 146 2.40. Theorems de perturbation de Weyl . 147 2.41. Theorems de majoration de Schur 148 2.42. Inegalites de Ky-Fan 150 2.43. Majoration de Tr(AB) 152 2.44. Ecart maximal entre deux valeurs propres 153 2.45. Valeurs propres d'endomorphismes dont la somme est positive 154 2.46. Etude de Tr(AB -BA)4, pour A et B antisyrnetriques 156 2.47. Parite du rang d'un endomorphisme antisymetrique 156 2.48. Endomorphismes antisyrnetriques en dimension 3 157 2.49. Carre d'une matrice antisyrnetrique 158 2.50. Reduction des endomorphismes antisymetriques 159 2.51. Matrices strictement positives. . 161 2.52. Theoreme de Liapounov . . . . . 162 2.53. Condition pour que Im B C Im A 164 2.54. Application convexe . . . . . . . 167 2.55. Condition pour qu'une matrice hermitienne soit definie posi­tive............................... 168 2.56. Calcul de l'inverse d'une matrice par une methode iterative 169 2.57. Encadrement des valeurs propres de AB . . . . . . . 170 2.58. Inegalite d'Hadamard pour une matrice hermitienne . . . 171 2.59. Produit de matrices hermitiennes positives 173 2.60. Produit de Schur de deux matrices hermitiennes positives 175 2.61.Inegalites ......................... .. 176 2.62. Decomposition polaire dans Mn(C) 177 2.63. Ecriture d'un endomorphisme comme combinaison lineaire d'endomorphismes unitaires 179 2.64. Matrices normales . . . . . . . 181 2.65. Theorems de Mirman (1968) . 182 2.66. Matrices unitairement congruentes aune matrice triangulaire 185 Chapitre 3. Formes quadratiques 189 3.1. Formes bilineaires reflexives 189 3.2. Caracterisation des applications bilineaires symetriques ou an­ tisymetriques .................. 190 3.3. Base forrnee de vecteurs isotropes . . . . . . . . 191 3.4. Formes quadratiques ayant meme cone isotrope 192 3.5. Composantes connexes par arcs 193 3.6. Theoreme de Pfister (1965) . . . 195 3.7. Indice d'une forme quadratique 197 3.8. Famille de form es quadratiques 199 3.9. Theorems de Fischer-Cochran . 200 3.10. Une forme qu adratique definie positive. 201 3.11. Une forme quadratique positive. . . . . 202 3.12. Une forme quadratique definie negative 203 3.13. Matrices sym etriques adiagonale positive 203 3.14. Restriction a un plan definie positive . . . 205 3.15. Caracterisation de Sylvester des matrices definies positives 206 3.16. Comparaisondenoyaux . . . . . . . . . . . 207 3.17. Une forme qu adratique positive. . . . . . . 208 3.18. Condition pour qu'une matrice soit positive 208 3.19. Inegalite de Bergstrom. . . . . . . . . . . . 209 3.20. Convergence d 'une suite croissante et majoree 211 3.21. Decroissance de la foncti on inverse 211 3.22. Signature d'une forme quadratique reelle 213 3.23. Composantes connexes . . 214 3.24. Un calcul de signature (1) 216 3.25. Un calcul de signature (2) 216 3.26. Un calcul de signature (3) 217 3.27. Formes quadratiques sur un corps fini 217 3.28. Matrices syrnetriques positives telles que A :(; B . 220 3.29. Inegalite sur Ie determinant de matrices syrnetriques 220 3.30. Comparaison d'endomorphismes syrnetriques definis positifs 221 3.31.Convexitelogarithmique................ 222 3.32. Inegalite de Minkowski 223 3.33. Inegalite sur Ie determinant de matrices syrnetriques 224 3.34. Diagonalisation simultanee de deux formes quadratiques 225 3.35. Commutant du groupe orthogonal d 'une forme quadratique nondegeneree ....................... ., 226 3.36. Minimalite du groupe orthogonal d'une forme non degeneree 228 3.37. Ellipsoi'de de John-Loewner , 229 3.38. Sous-groupes compacts maximaux de GL(E) 231 3.39. Endomorphisme auto-adjoint sur un espace quadratique com­ plexe 232 Chapitre 3. Formes quadratiques 3.1. Formes bilineaires reflexives . 3.2. Caracterisation des applications bilineaires syrnetriques ou an­tisyrnetriques .................. 190 3.3. Base forrnee de vecteurs isotropes . . . . . . . . 19 1 3.4. Formes quadratiques ayant meme cone isotrope 19 2 3.5. Composantes connexes par arcs 193 3.6. Theorerne de Pfister (1965) . . . 195 3.7. Indice d'une forme quadratique 197 3.8. Famille de formes quadratiques 199 3.9. Theoreme de Fischer-Cochran . 200 3.10. Une forme quadratique definie positive . 201 3.11. Une forme quadratique positive ..... 202 3.12. Une forme quadratique definie negative 203 3.13. Matrices symetriq ues it diagonale positive 20 3 3.14. Restriction it un plan definie positive . .. 20 5 3.15. Caracterisation de Sylvester des matrices definies positives 206 3.16. Comparaison de noyaux . . . . . . . . 207 3.17. Une forme quadratique positive . 208 3.18. Condition pour qu'une matrice soit positive 208 3.19. Inegalite de Bergstrom . 20 9 3.20. Convergence d'une suite croissante et majoree 211 3.21. Decroissance de la fonction inverse 211 3.22. Signature d'une forme quadratique reelle 213 3.23. Composantes connexes . . 214 3.24. Un calcul de signature (1) 216 3.25. Un calcul de signature (2) 216 3.26. Un calcul de signature (3) 2 17 3.27. Formes quadratiques sur un corps fini 217 3.28. Matrices symetriques positives telles que A ::;; B . 220 3.29. Inegalite sur Ie determinant de matrices syrnetriques 220 3.30. Comparaison d'endomorphismes syrnetriques definis positifs 221 3.31.Convexitelogarithmique ................ 222 3.32. Inegalite de Minkowski . 223 3.33. Inegalite sur Ie determinant de matrices syrnetriques 224 3.34. Diagonalisation simultanee de deux formes quad ratiques 225 3.35. Commutant du groupe orthogonal d'une forme quadratique nondegeneree . .. .... .... . . . . . . . . . . . . . . 3.36.Minirnalitedugroupeorthogonald'une formenondegeneree 3.37. Ellipsoids de John-Loewner . 3.38. Sous-groupes compacts maximaux de GL(E) . 3.39. Endomorphisme auto-adjoint sur un espace quadratique com­plexe . 3.40. Reduction des matrices syrnetriques complexes . . . 3.41. Une decomposition . 3.42. Maximum d'une forme quadratique sur un compact 3.43. Forme quadratique et reseau 3.44. Lemme de Davenport-Cassels 3.45. Image d'un cone . Chapitre 4. Ceometrie affine et euclidienne 245 4.1. Partage equitable ... 245 4.2. Theorerne de Pappus . 246 4.3. Theorerne de Menelaus 248 4.4. Quadrilatere complet . 249 4.5. Theorerne de Sylvester-Gallai . 251 4.6. Aire d'un triangle . 252 4.7. Point de Gergonne . 254 4.8. Quadrilatere forme par les sommets et l'orthocentre d'un tri­angle . 4.9. Caracterisation des triangles equilateraux . 4.10. Un triangle equilateral . 4.11. Theoremsde Ptolemee, . . . . . . . . . . 4.12. Puissance d'un point par rapport aun cercle 4.13.Suitedecercles ......... . 4.14. Condition de cocyclicite de quatre points 4.15. Probleme angulaire . 4.16. Intersection de deux disques . 4.17. Ellipses semblables . . . . . . . . 4.18. Rayon de courbure d'une ellipse 4.19. Cercles tangents aune ellipse .. 4.20. Triangles d'aire maximale inscrits dans une ellipse 4.21. Rectangles d'aire maximale inscrits dans une ellipse 4.22. Problerne de Pappus . 4.23. Cocyclicite de quatre points d'une ellipse 4.24. Cercle orthoptique d'une ellipse . 4.25. Sphere orthoptique d'un ellipsoide . 4.26. Centres des cercles circonscrits a une famille de triangles ins­ 4.34. ProblernedeFermat ................ 295 4.35. Polygone dont les milieux des cotes sont donnes 299 4.36. Triangles it cotes paralleles 300 4.37. Equivalence entre parties de 1R2. . . . . . . . . 302 4.38. Etude d 'une suite d'applications affines . . . . 304 4.39. Applications du plan conservant l'orthogonalite 305 4.40. Sous-groupes finis du groupe affine reel .. .. 309 4.41. Une partie bornee de 1R2 n'est pas dedoublable 309 4.42. Application conservant la distance unite . . 310 4.43. Groupe des isornetries du simplexe regulier 313 4.44. Theorerne de Caratheodory (1907) . . . . 316 4.45.Theoremsde Jung(1901) .......... 317 4.46. Points extremaux d'un ensemble convexe . 320 4.47.Rectanglecirconscrit aunconvexecompact 322 4.48. Theorerne de Pick (1899) 326 4.49. Droites it une distance strictement positive de 'l} 328 4.50.Polygoneayant troissommetsacoordonneesentieres. 329 4.51. Recouvrement par des droites . . . . . . . . . 331 4.52. Rotations de 1R3 laissant un reseau invariant . 333 4.53. Un problerne de P6lya (1918) 334 4.54. Theorems de Minkowski 336 4.55. Formule d 'Euler . . . . . . . 338 4.56. Rectangles semi-entiers .. . 340 4.57. Pavage d'un rectangle par des carres 341 Index 351 crits dans une parabole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 4.27. Centres des triangles equilateraux inscrits dans une parabole 281 4.28. Points equidistants de deux droites non coplanaires . 283 4.29. Diametre transfini ..... 284 4.30. Deux problernes d'extrema . 286 4.31. Problerne d'extremum . 289 4.32. Triangle de perirnetre minimal inscrit dans un triangle 291 4.33. Billard convexe compact. . . . . . . . . . . . . . . .. 293