Bons Makarov et ses collègues ont la chance de bénéficier à l'université de Saint-Pétersbourg à la fois d'étudiants en mathématiques d'excellent niveau et d'une grande liberté dans le choix de leurs sujets. Cela se reflète dans cet ouvrage issu de leur enseignement. Des questions très classiques de l'analyse y sont abordées sous un [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "Problèmes d'analyse réelle"
Bons Makarov et ses collègues ont la chance de bénéficier à l'université de Saint-Pétersbourg à la fois d'étudiants en mathématiques d'excellent niveau et d'une grande liberté dans le choix de leurs sujets.
Cela se reflète dans cet ouvrage issu de leur enseignement. Des questions très classiques de l'analyse y sont abordées sous un angle original,et des thèmes à peine effleurés dans la littérature courante y sont longuement développés.
Une attention particulière est ainsi portée à des chapitres de l'analyse et de la théorie des fonctions d'une variable réelle peu étudiés, en France comme en Russie, mais essentiels dans les applications : comportement asymptotique et méthode de Laplace, fonctions convexes, séries trigonométriques. Des domaines importants de l'analyse moderne sont également explorés : mesures de Hausdorff, inégalité de Khintchine, fonctions presque périodiques, théorie élémentaire des systèmes dynamiques, théorie ergodique.
Si les étudiants de L2 et de classes préparatoires peuvent tirer profit des sept premiers chapitres de cet ouvrage, les trois derniers demandent une plus grande maturité mathématique.
Les candidats à l'agrégation y trouveront de nombreux exemples pour illustrer leurs leçons et des problèmes pour préparer les écrits. L'ouvrage comporte plus de mille problèmes. Pratiquement tous sont accompagnés de solutions ou d'indications.
Sommaire et contenu du livre "Problèmes d'analyse réelle"
Table des matières
Préface à l'édition française IX
Préface du traducteur XI
Préfaces des éditions russes XIII
Notations XVII
Première partie. Problèmes
Chapitre J. Problèmes introductifs 3
1.
Ensembles .
3
2.
Inégalités .. IO
3.
Irrationalité. 20
Chapitre U. Suites
1.
Calculs de limites .
2.
Moyennes de suites .
3.
Suites récurrentes
Chapitre III.
Fonctions 35
1.
Continuité. Discontinuités
35
2.
Fonctions semi-continues . 38
3.
Fonctions continues et dérivables
39
4.
Transformations continues
45
5.
Équations fonctionnelles 47
Chapitre IV.
Séries 51
1.Convergence ...................... 51
2.
Propriétés des séries numériques liées à la monotonie
53
3.Énoncésdivers . . . . . . . 56
4.
Calcul de sommes de séries 58
5.
Séries de fonctions . . . 60
6.
Séries trigonométriques . . 62
Chapitre V.
Intégrales
1.
Intégrales impropres de fonctions d'une variable
2.
Calcul d'intégrales multiples .
Chapitre VI.
Développements asymptotiques 75
1.
Développement asymptotique d'intégrales 75
2.
La méthode de Laplace 79
3.
Développement asymptotique de sommes. 86
4.
Développement asymptotique de fonctions implicites et de suites récurrentes........................... .. 94
Chapitre VII.
Fonctions (suite) 99
1.Convexité........ 99
2.Fonctionslisses . . . . . . . . ro8
3.
Polynômes de Bernstein . . . 112
4.
Fonctions et suites presque périodiques 116
Chapitre VIII.
Mesure de Lebesgue et intégrale de Lebesgue I23
1.
La mesure de Lebesgue 123
2.
Fonctions mesurables. 127
3.
Fonctions intégrables . . 130
4.
L'intégrale de Stieltjes . 139
5.
ê-entropie et mesures de Hausdorff 142
6.
Comportement asymptotique d'intégrales multiples 148
Chapitre IX.
Suites de fonctions mesurables I55
1.
Convergence en mesure et presque partout . . . . . . . 155
2.
Convergence en moyenne. La loi des grands nombres . 158
3.
Les fonctions de Rademacher. L'inégalité de Khintchine 161
4.
Séries de Fourier et transformée de Fourier. . . . . . . 168
Chapitre X.
Itérations de transformations d'un intervalle I8I
1.Dynamiquetopologique .............. 181
2.
Transformations admettant une mesure invariante 189
Deuxième partie. Indications et solutions
Solutions du chapitre 1. Problèmes introductifs 20I
1.
Ensembles . 201
2.
Inégalités .. 207
3.
Irrationalité
Solutions du chapitre II. Suites 231
1.
Calculs de limites . . 23 1
2.
Moyennes de suites. 239
3.
Suites récurrentes 244
Solutions du chapitre III. Fonctions 253
1. Continuité et discontinuités de fonctions 253
3.
Fonctions continues et dérivables 258
4.
Transformations continues 268
5.
Équations fonctionnelles ... 273
Solutions du chapitre IV. Séries
1.Convergence ......................
2.
Propriétés des séries numériques liées à la monotonie
3.
Énoncés divers .
4.
Calcul de sommes de séries
5.
Séries de fonctions . . .
6.
Séries trigonométriques ..
Solutions du chapitre V. Intégrales
1.
Intégrales impropres de fonctions d'une variable
2.
Calcul d'intégrales multiples .
Solutions du chapitre VI. Développements asymptotiques 337
1.
Développement asymptotique d'intégrales 337
2.
La méthode de Laplace 348
3.
Développement asymptotique de sommes. 362
4.
Développement asymptotique de fonctions implicites et de suites récurrentes........................... .. 375
Solutions du chapitre VII. Fonctions (suite) 383
1.Convexité........ 383
2.Fonctionslisses ............. 394
3.
Polynômes de Bernstein . . . . . . . . 404
4.
Fonctions et suites presque périodiques 416
Solutions du chapitre VIII. Mesure de Lebesgue et intégrale de Lebesgue 427
1.
La mesure de Lebesgue 427
2.
Fonctions mesurables. 437
3.
Fonctions intégrables . 440
4.
L'intégrale de Stieltjes 453
5.
.ô-entropie et mesures de Hausdorff . . . . . . . . . 459
6.
Comportement asymptotique d'intégrales multiples 470
Solutions du chapitre IX. Suites de fonctions mesurables 487
1.
Convergence en mesure et presque partout . . . . . . . 487
2.
Convergence en moyenne. La loi des grands nombres . 489
3.
Les fonctions de Rademacher. L'inégalité de Khintchine 493
4.
Séries de Fourier et transformée de Fourier . . . . . . . 506
Solutions du chapitre X. Itérations de transformations d'un intervalle 535
1.Dynamiquetopologique .............. 535
2.
Transformations admettant une mesure invariante 553
Réponses 569
Bibliographie 579
Table des renvois 585
Index 591
Avis clients
Avis clients sur Problèmes d'analyse réelle - cassini - Enseignement des mathématiques
(Ils sont modérés par nos soins et rédigés par des clients ayant acheté l'ouvrage)
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