Mathématiques appliquées aux Sciences de la Vie et de la Planète
Licence 3 - Master - Écoles d'ingénieurs

Sommaire et contenu du livre "Mathématiques appliquées aux Sciences de la Vie et de la Planète - Licence 3 - Master - Écoles d'ingénieurs"

Table des matières PRÉFACE vii CHAPITRE 1 • RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES. ............... 1 1.1 Mathématiques numériques. ... .... ..... ... ..... ... ..... ... . 1 1.2 Méthodes numériques de résolution d'équations scalaires. . . . . 2 1.3 Méthodes multidimensionnelles..... . . . . ... . . . . . . .. . . . . . ... . . 15 EXERCiCES....................................................... 23 CHAPITRE 2. ALGÈBRE I.INÉAIRE........................................ 25 2.1 Notions et propriétés de base.. ........ ......... 25 2.2 Localisation des valeurs propres d'une matrice, matrice irréductible. Matrice à diagonale dominante.. ............ .... 60 2.3 Valeurs singulières d'une matrice............................. 67 2.4 Une illustration de l'analyse numérique matricielle: fonctionnement de Google ... .... ........................... 69 EXERCICES. ...................................................... 76 CHAPITRE 3. RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES Ax = b .............. 85 3.1 Méthodes numériques directes. . ......... .. ... ... ..... .. 86 3.2 Méthodes itératives... ..... .... .... ........ .. ..... ... .... 111 EXERCiCES....................................................... 133 CHAPITRE 4. CALCUL DES VALEURS ET VECTEURS PROPRES 143 4.1 Méthodedelapuissance..................................... 144 4.2 Méthodedelapuissanceinverse............................. 154 4.3 Méthodedebissection.......... ........ ......... ............ 156 EXERCICES....................................................... 166 CHAPITRE 5. INTERPOLATION ET APPROXiMATION....... . . .173 5.1 Polynômed'interpolationdeLagrange........................ 174 5.2 InterpolationdeHermite..................................... 179 CHAPITRE 6. MÉTHODES NUMÉRIQUES D'INTÉGRATION. .................. 185 6.1 Introduction.............. 185 6.2 SommesdeRiemann........................................ 186 6.3 Méthodes élémentaires de quadrature numérique. . . . . . . . . . . . . 188 6.4 Intégration numérique de Lagrange et de Newton-Cotes...... 190 6.5 Méthodes de quadrature de Hermite et de Gauss. . . . . . . . . . . . . 203 CHAPITRE 7. ÉQUATIONS DIFFÉRENTiElLES, INTRODUCTION. .............. 215 7.1 Exemples d'équations différentielles ordinaires. . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.2 Comportements des solutions................................ 218 7.3 Notion de différentielle -Champ de vecteurs et courbe intégrale.................................................... 223 7.4 Formulation générale d'un système d'équations différentielles. 224 7.5 Retoursur lanotiondelipschitzité... ......... ......... ....... 226 7.6 Leprincipedupoint fixe...... .... .. .... ........ ........ ..... 229 7.7 Existenceetunicitélocales destrajectoires.................... 231 7.8 Trajectoire maximale...... .... ... ........ ........ .......... .. 238 7.9 Flot d'un champ de vecteurs, complétude et critères suffisants. 240 7.10 Calcul des dérivées successives d'une solution. . . . . . .. . . . . . . . .. 246 CHAPITRE 8. RÉSOLUTION EXPLICITE DES EDO. .......................... 247 8.1 Ëquations différentielles scalaires non linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . 248 8.2 Ëquations linéaires et scalaires du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . 254 EXERCiCES......... 260 CHAPITRE 9. SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES AUTONOMES i = Ax 261 9.1 Préliminaires, rappels et idées de base................... 261 9.2 Cas des systèmes d'équations d'ordre n . ..... 266 EXERCiCES....................................................... 282 CHAPITRE 10 • RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DES EDO. ........................ 285 10.1 Méthodes à un pas, idéesdebase.................... ........ 286 10.2 Méthodes à un pas, formulation générale.................... 291 10.3 Conditionsdeconsistanceet destabilité...................... 294 10.4 LesméthodesdeRunge-Kutta ..... ...... .................... 298 10.5 Formulation générale des méthodes de Runge-Kutta .... ... . . . 303 10.6 Ordre des méthodes de Runge-Kutta ......................... 304 10.7 Stabilité des méthodes de Runge-Kutta....... ... . .. . . . . . . . . . . 308 CHAPITRE 11 • SYSTÈMES NON LINÉAIRES AUTONOMES. ................... 311 11'.1 Ëquations d'évolution non linéaires........................... 311 11.2 Pointscritiquesdetype nœud................................ 315 11.3 Méthode générale d'étude des systèmes dynamiques.. . . . . . . . 319 11.4 Points critiques de type foyer.......... ........ ........ ....... 321 11.5 Bifurcationsdesolutionsstationnaires........................ 324 11.6 Solutions périodiques et leur stabilité......................... 332 11.7 Bifurcations de Hopf.............. 336 11.8 Un problème d'écologie: système de Lotka-Volterra. . . . . . . . . .. 343 EXERCiCES....................................................... 353 CHAPITRE 12 • LE MODÈLE DE LORENZ. ................................... 363 12.1 LemodèleclassiquedeLorenz..... ..... ..................... 364 12.2 Ëtude qualitative du modèle de Lorenz....... ... ..... .. .. .... 365 EXERCiCES....................................................... 381 BIBLIOGRAPHIE 383 INDEX 388