Mathématiques pour l'économie et la gestion
Applications avec Excel

Sommaire et contenu du livre "Mathématiques pour l'économie et la gestion - Applications avec Excel"

Table des matières 1 Introduction au tableur Excel 5 1.1 La feuille de calcul 6 1.1.1 Présentation générale 6 1.1.2 Repérage des cellules dans la feuille 7 1.2 Saisie des données 9 1.2.1 Saisie directe 9 1.2.2 Saisie par copier-coller 9 1.3 Les formules dans Excel 11 1.3.1 Formules simples 11 1.3.2 Mélange de références 12 1.4 Fonctions usuelles dans Excel 13 1.4.1 Fenêtre de sélection 13 1.4.2 Exemple d'utilisation 14 1.5 Construction de graphiques 16 1.5.1 Les courbes 17 1.5.2 Les nuages de points 18 1.6 Le solveur 20 1.6.1 La fenêtre du solveur 20 1.6.2 Minimisation d'une fonction 21 1.6.3 Maximisation d'une fonction sous contraintes 23 1.6.4 Résolution d'un système d'équations 25 Exercices 29 Corrigés des exercices 30 2 Ensembles, relations et applications 35 2.1 Les ensembles 36 2.1.1 Préliminaires 36 2.1.2 Comparaison d'ensembles 38 2.1.3 Union, intersection, complémentaire 39 2.1.4 Partition d'un ensemble 43 2.1.5 L'ensemble des parties d'un ensemble 45 2.2 Les fonctions logiques d'Excel 46 2.2.1 Les fonctions ET et OU 47 2.2.2 La fonction SI 49 2.3 Relations binaires 50 2.3.1 Relations d'ordre 51 2.3.2 Relations d'équivalence 53 2.4 Les applications 55 2.4.1 Définitions et propriétés générales 55 2.4.2 Injections, surjections, bijections 57 2.4.3 La composition des applications 59 Exercices 60 Corrigés des exercices 61 3 Nombres réels et suites numériques 65 3.1 L'ensemble lR 65 3.1.1 Pythagore et les photocopieuses 66 3.1.2 Majorants, minorants, bornes 67 3.1.3 Les intervalles 68 3.1.4 Ensembles ouverts et ensembles fermés 69 3.2 Suites de nombres réels 71 3.2.1 Exemples introductifs 71 3.2.2 Convergence des suites 75 3.2.3 Opérations sur les suites 83 Exercices 88 Corrigés des exercices 89 4 Fonctions d'une variable 93 4.1 Hors d'œuvre 94 4.1.1 Fonctions croissantes et décroissantes 99 4.1.2 Extremums d'une fonction 102 4.2 Limites et continuité 104 4.2.1 Limite d'une fonction en un point 104 4.2.2 Fonctions continues 109 4.2.3 Continuité et méthode dichotomique 111 4.2.4 Conséquences du théorème de la valeur intermédiaire 115 4.2.5 Fonctions convexes et concaves 116 4.3 Sens de variation et dérivées 118 4.3.1 Exemple introductif 118 4.3.2 La notion de dérivée 119 4.3.3 Propriétés des dérivées 122 4.3.4 Dérivée de fonctions composées 124 4.3.5 Dérivées d'ordre supérieur 126 4.4 Logarithmes et exponentielles 129 4.4.1 Les fonctions puissance 129 4.4.2 Exponentielles de base e 131 4.4.3 Les logarithmes 134 4.5 Accroissements finis et formule de Taylor 135 4.5.1 Théorème de Rolle 135 4.5.2 Théorème des accroissements finis 136 4.5.3 Formule de Taylor et développements limités 138 Exercices 140 Corrigés des exercices 142 5 Intégration 151 5.1 La mesure des inégalités 151 5.2 Intégrale d'une fonction étagée 154 5.2.1 Fonctions étagées: définition 154 5.2.2 Définition et propriétés de l'intégrale d'une fonction étagée 156 5.3 Généralisation 157 5.3.1 Fonctions intégrables sur [a; bJ 157 5.3.2 Propriétés des intégrales de fonctions continues 159 5.3.3 Primitives 163 5.3.4 Primitives des fonctions usuelles 163 5.4 Techniques de calcul 165 5.4.1 L'intégration par parties 165 5.4.2 Le changement de variable 166 5.5 Intégrales généralisées 168 5.5.1 Intervalle de définition non borné 169 5.5.2 Fonction non bornée 170 Exercices 171 Corrigés des exercices 173 6 Calcul matriciel 181 6.1 Apéritif 177 6.1.1 Notation des entreprises et risque de défaut 178 6.1.2 Le processus de choix du consommateur 179 6.1.3 Valorisation d'un portefeuille 181 6.2 Définitions 182 6.3 Opérations élémentaires sur les matrices 184 6.3.1 Transposition 184 6.3.2 Addition de matrices 186 6.3.3 Multiplication d'une matrice par un nombre réel 188 6.3.4 Produit matriciel 189 6.3.5 Matrices carrées et inversion de matrices 193 6.3.6 Matrices élémentaires 197 6.3.7 Concaténation de deux matrices 200 6.4 Systèmes d'équations linéaires 200 6.4.1 Exemple introductif 200 6.4.2 Les différents types de systèmes linéaires 201 6.4.3 Méthodes de substitution et d'élimination 202 Exercices 207 Corrigés des exercices 209 7 Espaces vectoriels et applications linéaires 215 7.1 Espaces vectoriels: définitions et propriétés générales 217 7.1.1 Définition et exemples d'espaces vectoriels 217 7.1.2 Sous-espaces vectoriels 219 7.1.3 Base et dimension d'un espace vectoriel 224 7.2 Applications linéaires 231 7.2.1 Définitions et notations 231 7.2.2 Noyau et image d'une application linéaire 232 7.2.3 Espace d'applications linéaires 234 7.2.4 Composition des applications linéaires 236 7.3 Applications linéaires et matrices 236 7.3.1 Représentation d'une application linéaire par une matrice 236 7.3.2 Produit matriciel et composition des applications linéaires 238 7.3.3 Le cas des matrices carrées 239 7.4 Déterminants 242 7.4.1 Cas d'une matrice (2,2) 242 7.4.2 Cas général 242 7.5 Changement de base 245 7.5.1 Matrice d'une application linéaire après changement de base 245 7.5.2 Trace d'une matrice carrée 246 7.5.3 Diagonalisation des matrices carrées 247 7.6 Normes et produits scalaires 251 7.6.1 Espace vectoriel normé 251 7.6.2 Norme et formes quadratiques 252 7.6.3 Produit scalaire sur un espace vectoriel 253 Exercices 258 Corrigés des exercices 259 8 Fonctions de plusieurs variables 265 8.1 Les espaces métriques 266 8.1.1 Distance sur un ensemble 266 8.1.2 Ouverts et fermés dans un espace métrique 267 8.1.3 Suites dans les espaces métriques 272 8.2 Régularité des fonctions de plusieurs variables 273 8.2.1 Limites et continuité 273 8.2.2 Dérivées partielles 273 8.2.3 Dérivation des fonctions composées 275 8.2.4 Différentielle d'une fonction de plusieurs variables 276 8.2.5 Le théorème des accroissements finis 280 8.2.6 Dérivées partielles d'ordre 2 281 8.2.7 Formule de Taylor 283 8.2.8 Fonctions convexes et concaves 285 8.3 Fonctions implicites et fonctions homogènes 287 8.3.1 Le théorème des fonctions implicites 287 8.3.2 Fonctions homogènes et théorème d'Euler 289 Exercices 292 Corrigés des exercices 293 9 Optimisation sans contraintes 297 9.1 Préliminaires 298 9.1.1 Le domaine d'optimisation 298 9.1.2 La régularité de la fonction 300 9.1.3 Optimum local et optimum global 300 9.2 Optimisation de fonctions d'une variable 302 9.2.1 Condition nécessaire d'optimalité locale 303 9.2.2 Conditions suffisantes d'optimalité locale 303 9.2.3 Condition nécessaire et suffisante d'optimalité 304 9.2.4 Conditions d'optimalité globale 305 9.3 Application: le modèle de Wilson 305 9.3.1 Définition du problème 306 9.3.2 Résolution analytique 307 9.3.3 Résolution numérique avec le solveur d'Excel 308 9.4 Optimisation de fonctions de deux variables 310 9.4.1 Condition d'optimalité locale 312 9.4.2 Conditions d'optimalité globale 314 9.4.3 Application: le modèle de Wilson avec ruptures de stocks 315 9.4.4 Les bénéfices collatéraux de l'optimisation: l'exemple de la régression linéaire 320 9.5 Optimisation de fonctions de p variables 325 9.5.1 Conditions d'optimalité locale 325 9.5.2 Conditions d'optimalité globale 325 Exercices 326 Corrigés des exercices 327 10 Optimisation sous contraintes 331 10.1 Retour sur les classiques 332 10.1.1 La maximisation de l'utilité sous contrainte de budget 332 10.1.2 La fonction de production 334 10.2 Fonctions de deux variables et contrainte en égalité 338 10.2.1 Présentation du problème 338 10.2.2 Le lagrangien et les conditions d'optimalité 339 10.2.3 Résolution avec Excel 343 10.3 Fonctions de p variables sous contraintes en égalité 345 10.3.1 Conditions d'optimalité locale 346 10.3.2 Conditions d'optimalité globale 348 10.4 Fonctions de p variables sous contraintes en inégalité et en égalité 348 10.4.1 Comment construire une structure par termes des taux d'intérêt? 348 10.4.2 Le problème théorique 348 10.4.3 La résolution 352 10.4.4 Condition nécessaire d'optimalité 353 10.4.5 Condition nécessaire et suffisante d'optimalité globale 353 Exercices 354 Corrigés des exercices 355 11 Équations de récurrence et équations différentielles 359 11.1 Une entrée en matière 361 11.1.1 Le concours de beauté 361 11.1.2 Un modèle de croissance économique 362 11.2 Équations de récurrence 364 11.2.1 Une rapide typologie 364 11.2.2 Équations linéaires d'ordre 1 à coefficients constants 366 11.2.3 Équations linéaires d'ordre 2 à coefficients constants 372 11.3 Les équations différentielles 378 11.3.1 Une rapide typologie 378 11.3.2 Les équations différentielles linéaires d'ordre 1 380 11.3.3 Les équations différentielles linéaires d'ordre 1 à coefficients constants 383 11.3.4 Les équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants 387 Exercices 391 Corrigés des exercices 392