Coniques projectives, affines et métriques
Cours et exercices

Sommaire et contenu du livre "Coniques projectives, affines et métriques - Cours et exercices"

Table des matières 1. Espaces projectifs 1.Généralités....... . 1 2. Définition d'un espace projectif .. 2 3. Dualité dans les espaces projectifs 5 4. Les homographies 6 5.Exercices .............. 23 Il. Complétion projective d'un espace affine 1.Définition. ........ 27 2. Une application typique. . . . 30 3. Passage par des abscisses . . . 31 4. Changements de coordonnées. 33 5.Exercices ............ 34 III. Complétion projective des espaces affines euclidiens 1. Éléments métriques vectoriels complexes .. . . . . . . . 37 2. Éléments métriques dans le complexifié du plan affine euclidien. 39 3.Exercices ............................. .. 41 IV. L'espace des formes quadratiques sur E 1.Définitions ............. .. 45 2. Orthogonalité . 47 3. La réduction des formes quadratiques 47 V. Propriétés projectives des coniques 1. Les coniques du plan projectif .... 53 2. Propriétés projectives des coniques propres 60 3. L'aspect tangentiel des coniques . 67 4. Génération des coniques par homographies 70 5. Exercices 7~ VI. Classification affine des coniques réelles. 1.Introduction ............... 77 2. Classification affine des coniques réelles .. 77 3. Propriétés affines des coniques à centre .. . 80 4. Tangentes et asymptotes à une conique à centre 85 5. Propriétés affines de la parabole 87 6. Exercices . 89 VII. La classification métrique des coniques 1.Préliminaire ..................... 91 2. Propriétés focales communes aux coniques propres 92 3. Étude métrique de la parabole . . . . . . . 97 4. Propriétés bifocales des coniques à centre . 102 5. Étude des propriétés métriques de l'ellipse 105 6. Propriétés métriques de l'hyperbole 110 7.Exercices ............... 117 VIII. Diverses applications 1. Coniques tangentielles et homographies 121 2. Les faisceaux de coniques . . . . . 125 3. Les homographies sur les coniques 144 4. Exercices . 155 IX. Quelques constructions 1.Constructiondelapolaire d'unpoint ............. 161 2. Construction de l'intersection d'une droite et d'une conique. 164 3.Etpourquelquesdollarsdeplus . . . . . . . . . . . . . . . . 165 X. Les sections coniques 1. Les cônes de révolution 171 2. Cônes et coniques 172 3. L'aspect métrique 174 4. La réciproque 177 5. Exercices ..... 180 XI. Et l'espace alors? 1.Introduction .......... 183 2. Généralités . 183 3. Étude des quadriques propres 186 4. La classification projective des quadriques complexes 195 5. La classification projective des quadriques réelles. 197 6. La classification affine des quadriques réelles 199 7. Aperçu sur les faisceaux de quadriques . 205 A. Espaces affines et notions associées 1.Espacesaffines ............. 209 2. Espace vectoriel adjoint d'un espace affine 228 3.Exercices ................... 233 B. Complexifié d'un espace vectoriel ou affine réel 1. Le complexifié d'un espace vectoriel . 239 2. Le complexifié d'un espace affine réel 241 3. Exercices . 242 C. Formes bilinéaires 1. L'espace des formes bilinéaires sur E . . ..... 245 2. Orthogonalité relativement à une forme bilinéaire 247 D. Espaces euclidiens 1. Les espaces vectoriels euclidiens 251 2. Le groupe orthogonal . . 255 3. La notion d'angle orienté 262 4.Exercices ........ 267 E. Le plan affine euclidien 1. L'alignement . 269 2. Les angles .. 270 3. Les isométries 270 4. Les similitudes 275 5. Complément sur les cercles 282 6. Cercles orthogonaux. . . 290 F. A propos d'un théorème G. Indications et solutions 1. Chapitre 1 . 295 2. Chapitre II . 298 3. Chapitre III 302 4. Chapitre V . 304 5. Chapitre VI 312 6. Chapitre VII 314 7. Chapitre VIII 323 H. Problème de concours général 1. Problème de concours général 1961 ........... 337 I. Concours d'entrée 2006 à l'Êcole Centrale Bibliographie 347 Notations 349 Index 351