Systèmes dynamiques et méthodes de continuation - Applications en biologie et dynamique des populations

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Après une présentation générale des systèmes dynamiques déterministes, l'ouvrage propose quelques éléments de calcul différentiel et les variétés différenciables. La notion d'espace fibré ayant été introduite, une attention particulière est accordée à la définition des champs de vecteurs sur les variétés. La notion de flot d'un champ de vecteurs sert ensuite de base aux propriétés essentielles de récurrence des orbites, de stabilité des points singuliers des champs de vecteurs et de stabilité des orbites périodiques. Des exemples illustrent ces différentes notions. Le coeur de l'ouvrage est consacré aux phénomènes généraux de la dynamique des systèmes, en particulier aux bifurcations de solutions d'équations différentielles dépendantes d'un ou plusieurs paramètres. Leur examen montre la faiblesse des calculs analytiques. Les méthodes de continuation, qui permettent des études paramétriques, sont alors largement exposées, que ce soit pour la continuation des points singuliers ou celle des points de bifurcation de Hopf. Les algorithmes et leur convergence sont développés, essentiellement dans le cadre de la paramétrisation des solutions par l'abscisse curviligne. Deux chapitres dédiés à la biologie et à l'écologie illustrent les méthodes précédemment exposées.

Auteurs :

Auteur Jean Roux, après une thèse en mathématiques à l'université de Paris, a été ingénieur-chercheur aux Etudes et Recherches de l'EDF, maître de conférences en analyse numérique aux Ponts et Chaussées, puis enseignant-chercheur en mathématiques appliquées au département Géosciences de l'ENS. Il est l'auteur de plusieurs ouvrages sur les mathématiques appliquées et les systèmes dynamiques.

Cet ouvrage est d'abord un cours classique sur les équations différentielles, puis il définit les champs de vecteurs sur les variétés, les espaces fibrés et la notion de germe, puis les systèmes avec paramètres. La difficulté des calculs analytiques dans les études paramétriques motive l'exposé des méthodes numériques de continuation. Deux chapitres dédiés à la biologie et l'écologie illustrent les notions et méthodes.

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