Analyse complexe et Distributions Cours et exercices corrigés.
Le livre d'Alain Yger présente, en un seul volume, à la fois la théorie des fonctions de variables complexes et celle des distributions. Le lecteur découvrira avec émerveillement comment ces deux branches de l'Analyse interagissent et s'enrichissent mutuellement. Ainsi par exemple, la théorie des distributions apparaît comme un outil [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "Analyse complexe et Distributions"
Le livre d'Alain Yger présente, en un seul volume, à la fois la théorie des fonctions de variables complexes et celle des distributions.
Le lecteur découvrira avec émerveillement comment ces deux branches de l'Analyse interagissent et s'enrichissent mutuellement. Ainsi par exemple, la théorie des distributions apparaît comme un outil puissant pour l'étude des opérateurs hypoelliptiques, et cette étude éclaire d'un jour nouveau les concepts d'holomorphie et d'analyticité ; la transformation de Fourier établit une correspondance remarquable entre distributions à support compact et fonctions entières.
Par son style vivant et convivial, et par les explications détaillées dont il est prodigue, l'auteur a su rendre aussi aisé que possible l'accès à nombre de théorèmes profonds.
De plus, son ouvrage, particulièrement riche, est remarquablement bien conçu pour une étude active : les nombreux exercices de compréhension et les thèmes de problèmes sont autant d'invitations à aller plus loin, dans diverses directions intéressantes tant pour les mathématiques elles-mêmes que pour leurs applications.
Sommaire et contenu du livre "Analyse complexe et Distributions - Cours et exercices corrigés."
Table des matières
1 Formes différentielles dans le plan 1
1.1
Formes différentielles dans R2 d'ordre 0 ou 1 1
1.2
Différentiation des O-formes . . . . . . . . . 2
1.3
Formes d'ordre 2; différentiation des I-formes 3
1.4
Intégration d'une I-forme sur un chemin Cl par morceaux 5
1.5
I-formes exactes, I-formes fermées 7
1.6
Le lemme de Poincaré 8
1.7
Intégration d'une 2-forme sur une 2-chaîne Il
1.8
La formule de Cauchy-Pompeïu . . . . . 15
1.9
La formule de Green-Riemann . . . . . . 17
1.10
Solutions des exercices de compréhension 19
1.11
Quelques sujets de problèmes. . . . . . . 26
1.11.1
Comment une formule analytique peut se substituer à un algorithmealgébrique ...................... 26
1.11.2
Le théorème du point fixe de Brouwer dans le disque unité 27
2 Holomorphie, analyticité, harmonicité 29
2.1
Fonctionsholomorphes . . . . . . . . . . . 29
2.2
Fonctions analytiques dans un ouvert de R2 33
2.3
Rappels concernant les séries entières . 35
2.4
Le lien entre holomorphie et analyticité . 42
2.5
LesinégalitésdeCauchy . . . . . . . . . 48
2.6
Suites et séries de fonctions holomorphes 50
2.7
Le principe des zéros isolés. . . 58
2.8
Le théorème de l'image ouverte .. 62
2.9
Le principe du maximum . . . . . . 65
2.10
Primitives de fonctions holomorphes 71
2.10.1
Primitive d'une fonction analytique dans un disque 71
2.10.2
Le théorème de Morera et ses conséquences. . . . 71
2.10.3
Primitive d'une fonction holomorphe dans un ouvert étoilé 77
2.10.4
Le théorème de Cauchy-Goursat . 79
2.11
Fonctionsharmoniques ................ 81
2.11.1
L'opérateurlaplacien . . . . . . . . . . . . . 81
2.11.2
La relation entre harmonicité et holomorphie 82
2.11.3
Formule de représentation intégrale de Poisson 84
2.11.4
Le problème de Dirichlet pour un disque 86
2.11.5
La formule de Green-Ostrogradski . 89
2.12
Solutions des exercices de compréhension 93
2.12.1
Exercices relatifs à la section 2.1 . 93
2.12.2
Exercices de la section 2.2 . . . . 98
2.12.3
Exercices relatifs aux sections 2.3 à 2.5 10 1
2.12.4
Exercices relatifs à la section 2.6 . . . . 109
2.12.5
Exercices relatifs à la section 2.7 . . . . 114
2.12.6
Un sujet de problème: autour du théorème de Cramer. 115
2.12.7
Un sujet de problème: autour de la transformation de Borel 117
2.12.8
Exercices relatifs aux sections 2.8 et 2.9 . . . . 118
2.12.9
Exercices relatifs à la section 2.10 . . . . . . . 124
2.12.10
Un sujet de problème: le principe du minimum 132
2.12.11
Exercices relatifs à la section 2.11 . . . . . 135
2.12.12
Un sujet de problème: la formule de Jensen 142
3 Initiation à la théorie des distributions 145
3.1
Espace des fonctions-test dans un ouvert de Rd 145
3.2
Notion de distribution (définie) sur un ouvert de Rd 148
3.3
Exemples; modélisation des phénomènes 150
3.4
Suites de distributions et régularisation. 156
3.5
Le support d'une distribution. . . . . . . 160
3.5.1
Définition du support, exemples . 160
3.5.2
Distributions à support compact, exemples 162
3.6
Opérations sur les distributions . . . . . . . . . 168
3.6.1
Ladérivation .............. 168
3.6.2
La multiplication par une fonction Coo . 171
3.6.3
Le produit tensoriel. . . . . . . . . . . 173
3.7
La formule des sauts 176
3.8
Solutions fondamentales (et exemples éJ/oz et 6.) 179
3.9
La convolution 183
3.9.1
Clause de définition en termes de supports. 185
3.9.2
Les algèbres de convolution ['(Rd) et 1)~ . 189
3.9.3
Une relecture des formules de Cauchy-Pompeïu ; notion d'hypoellipticité ................. 191
3.10
Les distributions tempérées. . . . . . . . . . . . 199
3.10.1
L'espace S(Rd) et les signaux gaussiens. 199
3.10.2
L'espace S'(Rd) 204
3.10.3
Le spectre d'une distribution tempérée; le cas de ['(Rd) 207
3.10.4
Convolution et prise de spectre, exemples. . . . . . . . 212
3.10.5
Distributions périodiques et formule sommatoire de Poisson 215
3.10.6
Distributions à spectre borné; échantillonnage 218
3.11
Solutions des exercices de compréhension . . . 223
3.11.1
Exercices relatifs aux sections 3.1 et 3.2 223
3.11.2
Exercices relatifs aux sections 3.3 à 3.5 226
3.11.3
Exercices relatifs aux sections 3.6 à 3.8 237
3.11.4
Exercices relatifs à la section 3.9 . . . . 244
3.11.5
Autour du théorème de Runge (thème de problème) . 251
3.11.6
Exercices relatifs à la section 3.10 . . . . . . . . . . 253
4 Topologie dans le champ complexe 261
4.1
Chemins continus dans R2 .•••••••.•.•••.. ••.••• 261
4.1.1
Notion de chemin continu; opérations simples 261
4.1.2
Primitives d'une forme fermée le long d'un chemin continu 262
4.1.3
Homotopie entre chemins continus ou lacets. 269
4.1.4
Notion de simple connexité 273
4.2
Variationdel'argument . . . . . . . . . . . . . 278
4.2.1
Relèvement d'un chemin continu de C' 278
4.2.2
Degré d'un lacet de C' ......... 281
4.2.3
Indice d'un lacet par rapport à un point 284
4.2.4
Le théorème de Rouché 289
4.2.5
Bilan total de la variation de l'argument 295
4.3
Singularités isolées et résidus . . . . . . . . . . 296
4.3.1
Développement en série de Laurent d'une fonction holomorphe
dansunecouronne ..................... 296
4.3.2
Résidu d'une fonne holomorphe en une singularité isolée. 300
4.3.3
La notion d'infini dans le champ complexe (deux aspects) 302
4.3.4
La hiérarchie des singularités isolées. . . . 304
4.3.5
Fonctions méromorphes, calculs de résidus 310
4.3.6
Notion de résidu à l'infini 316
4.4
Le théorème des résidus et ses applications 318
4.4.1
Une version homotopique du théorème des résidus 318
4.4.2
La fonnule des résidus (version Green-Riemann) 323
4.4.3
Résidusetdivision ................. 326
4.4.4
Les lemmes pratiques du type Jordan 328
4.4.5
Une courte digression àpropos du logarithme complexe 334
4.4.6
Intégrales mêlant puissances, logarithmes, fractions, ... 335
4.5
Produits infinis, dérivées logarithmiques 341
4.6
Univalence et conformité . . . . 346
4.6.1
La notion de conformité . . . . 346
4.6.2
Les homographies . . . . . . . 347
4.6.3
La notion d'univalence; le théorème d'Hurwitz 349
4.6.4
Le théorème de Riemann . . . . . 351
4.7
Solutions des exercices de compréhension 355
4.7.1
Exercices relati fs à la section 4.1 . 355
4.7.2
Exercices relatifs à la section 4.2 . 356
4.7.3
Exercices relatifs à la section 4.3 . 366
4.7.4
Un thème de problème: autour des fonctions de Bessel 370
4.7.5
Exercices relatifs à la section 4.4 . . . . . . . . . . 372
4.7.6
Exercices relatifs à la section 4.5 . . . . . . . . . . 377
4.7.7
Thème de problème: autour des nombres premiers 379
4.7.8
Exercices relatifs à la section 4.6 . . . . . . . . . . 380
Index 383
Avis clients
Avis clients sur Analyse complexe et Distributions - ellipses - Mathématiques 2ème cycle
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