Cet ouvrage est destiné aux étudiants en licence et maîtrise de mathématiques ainsi qu'aux étudiants des écoles d'ingénieurs. Les connaissances mathématiques requises sont celles d'un premier cycle scientifique.Ce cours est consacré à deux grands outils de l'Analyse dont les interventions en mathématiques et en physique sont [...] [lire le résumé du livre]
Cet ouvrage est destiné aux étudiants en licence et maîtrise de mathématiques ainsi qu'aux étudiants des écoles d'ingénieurs.
Les connaissances mathématiques requises sont celles d'un premier cycle scientifique. Ce cours est consacré à deux grands outils de l'Analyse dont les interventions en mathématiques et en physique sont permanentes et multiformes, la théorie des distributions et l'analyse de Fourier, ainsi qu'à leurs applications, notamment aux équations de la physique mathématique.
Les distributions, ou fonctions généralisées, fournissent depuis un demi-siècle le cadre unifié où se formulent et se résolvent les problèmes de l'Analyse. C'est dans ce cadre que sont étudiées les séries de Fourier, la transformation de Fourier et diverses équations aux dérivées partielles : équations de Laplace, de Schrôdinger, équations de la propagation des ondes et de la chaleur.
Trois chapitres introductifs traitent respectivement de l'intégrale de Lebesgue, des espaces fonctionnels, des espaces de fonctions différentiables. Des appendices sont consacrés à des compléments de calcul différentiel et d'analyse fonctionnelle.
Auteurs :
Jean-Michel Bony est professeur des Universités et membre correspondant de l'Académie des Sciences. Il a enseigné à l'Université de Paris-Sud et à l'Ecole polytechnique où il est actuellement président du Département de Mathématiques.
Sommaire et contenu du livre "Cours d'analyse - Théorie des distributions et analyse de Fourier"
Introduction 1
1.
L'intégrale de Lebesgue 7
1.1.
Intégrale des fonctions positives 7
1.2.
Fonctions sommables 11
1.3.
Cas de la dimension 1 16
1.4.
Intégrales multiples 18
1.5.
Espaces LI, L2 , L'X! 20
1.6.
Sur la construction de l'intégrale 22
1.7.
Les quatre opérations 25
2.
Topologie générale et espaces fonctionnels 29
2.1.
Espaces métriques (propriétés topologiques) 29
2.2.
Espaces métriques (propriétés uniformes) 32
2.3.
Espaces métriques compacts 35
A.
Généralités 35
B.
Exemples et applications 38
C.
Partitions de l'unité 42
2.4.
Espaces vectoriels normés 44
2.5.
Espaces de Hilbert 48
2.6.
Espaces fonctionnels classiques 56
2.7.
Séries de Fourier 64
3.
Fonctions différentiables et approximation 69
3.1.
Espaces de fonctions différentiables 69
3.2.
Partitions de l'unité Coo 73
3.3.
Convolution 76
3.4.
Régularisation 79
3.5.
Approximation dans un ouvert 82
4.
Les distributions 85
4.1.
Introduction 85
4.2.
Définition et convergence 88
4.3.
Dérivées 90
4.4.
Exemples de distributions 92
A.
Fonctions localement sommables 92
B.
Mesures de Radon 94
C.
Multipôles, couches multiples 96
D.
Valeurs principales et parties finies 97
5.
Opérations sur les distributions 99
5.1.
Opérations élémentaires 99
5.2.
Multiplication par les fonctions Coo 101
5.3.
Dérivation (dimension 1) 102
5.4.
Dérivation (dimension quelconque) 106
A.
Formule de Stokes (cas d'un surgraphe) 106
B.
Formule de Stokes (cas d'un ouvert régulier) 108
C.
Formule des sauts dans l'espace 111
D.
Applications 112
6.
Espaces particuliers de distributions 115
6.1.
Distributions à support compact 115
6.2.
Espaces de Sobolev d'ordre entier 119
A.
Notions de régularité 119
B.
Définition et propriétés 120
C.
Applications 124
6.3.
Distributions périodiques 128
7.
Convolution 131
7.1.
Préliminaires 131
7.2.
Convolution d'une distribution et d'une fonction Coo 135
7.3.
Convolution et translations 138
A.
Propriété caractéristique de la convolution 138
B.
Interprétation physique 140
7.4.
Convolution des distributions 142
7.5.
Mode d'emploi 146
A.
Conditions de Définition 146
B.
Propriétés fondamentales 147
C.
Modes de calcul 147
8.
Quelques équations de la physique mathématique 149
8.1.
Généralités sur les équations de convolution 149
8.2.
Équations de Laplace et de Poisson 151
8.3.
Équation des ondes 154
8.4.
Équations différentielles et intégrales 159
9.
Transformation de Fourier 163
9.1.
Transformation de Fourier des fonctions sommables 163
9.2.
L'espace S de Schwartz 167
9.3.
L'espace S' des distributions tempérées 170
9.4.
Transformation de Fourier des distributions tempérées 173
A.
Résultats généraux 173
B.
Transformation de Fourier dans E' 175
C.
Transformation de Fourier dans L 2 177
9.5.
Les propriétés fondamentales 178
A.
L'échange de la convolution et de la multiplication 178
B.
Équations de convolution 181
9.6.
Transformation de Fourier partielle et équations d'évolution 184
9.7.
Vers l'analyse microlocale 189
9.8.
Transformation de Laplace 191
10.
Espaces de Sobolev 195
10.1.
Structure hilbertienne et dualité 195
10.2.
Régularité et caractère local 198
10.3.
Traces et prolongements 200
A.
Trace d'une fonction définie dans IRn 200
B.
L'espace H1(IR+') 203
1004.
Problème de Dirichlet dans un ouvert régulier 206
A.
'l'races 207
B.
Problème de Dirichlet homogène 209
C.
Problème de Dirichlet non homogène 211
D.
Vers l'analyse spectrale 213
10.5.
Problème de Cauchy et semi-groupes 214
A.
Compléments de calcul différentiel 221
A.l.
Applications différentiables 221
A.2.
Hypersurfaces 224
A.3.
Intégrale de surface 228
AA.
Cartes et sous-variétés 231
B.
Espaces de Baire 235
B.l.
Résultats fondamentaux 235
B.2.
Quelques applications 236
C.
Espaces de Fréchet 239
C.l.
Espaces localement convexe métrisables 239
C.2.
Exemples d'espaces de Fréchet 241
C.3.
Le théorème de Banach-Steinhaus 243
CA.
Continuité des applications bilinéaires 246
Bibliographie 249
Index 251
Index des notations 262
Principaux espaces fonctionnels 263
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