Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces

Sommaire et contenu du livre "Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces"

TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION.............................................................. V AVANT-PROPOS......... .....•.•.•.••........•••.•.....•..••........••.•.... 5 Chapitre O. Rappels et compléments.......................................... 7 0.0 Notations. Rappels 7 O.1 Algèbreextérieure :.................... 9 o.2 Calcul différentiel 15 0.3 Formes différentielles sur un ouvert d'un espace vectoriel 24 o.4 Intégration................................................... 32 0.5 Exercices..................................................... 35 Chapitre 1. Equations différentielles 36 1.1 Généralités................................................... 37 1.2 Equations différentielles indépendantes du temps : existence de solu­tions locales 39 1.3 Etudedel'unicitéglobale.Couléeglobale......................... 45 1.4 Champs de vecteurs dépendant du temps, champs de vecteurs dépen­dantd'unparamètre......................................... 49 1.5 Unicité et coulée globale pour les champs de vecteurs dépendant du temps.... .................................................. 51 1.6 Cultureetéquationslinéaires.................................... 52 Chapitre 2. Variétés différentielles 55 2.1 Sous-variétésdeRn............................................ 56 2.2 Variétés abstraites .......................... 62 2.3 Morphismes.................................................. 70 2.4 Revêtements,quotients......................................... 76 2. 5 Espaces tangents 84 2.6 Sous-variétés, immersions, submersions, plongements 96 2.7 Fibrésnormaux, unitaires;tubes.............................. .. 101 2.8 Exercices..................................................... 107 Chapitre3. Partitionsdel'unité.Densités.Courbes........................... .. 114 3.1 Plongement des variétés compactes 115 3.2 Partitionsdel'unité.......................................... .. 117 3.3 Densitéssurune variété...................................... .. 121 3.4 Classification des variétés connexes de dimension un .. 127 3.5 Champs de vecteups et équations différentielles sur les variétés. . . . . .. 131 3.6 Exercices................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138 O1apitre 4. Points critiques 141 4. 1 Définitions, exemples 141 4.2 Points critiques non dégénérés d'une fonction numérique. Réduction de Morse..................................................... 145 4.3 ThéorèmedeSard............................................. 157 4 . 4 Exercices..................................................... 160 Chapitre5. Calculdifférentielsurlesvariétés.................................. 162 5.1 Le fibré ArT·X. ............................................. .. 163 5.2 Formesdifférentiellessurunevariété............................. 164 5.3 Formes de degré maximum et orientation 172 5.4 Groupesdede Rham........................................ .. 187 5.5 DérivéedeLie ................................... .. 192 5.6 Ouverts étoilés; lemme de Poincaré. ............................. 196 5.7 Groupes de de Rham des sphères et des projectifs 198 5.8 Groupes de de Rham des tores ',' . . . . .. 202 5.9 Exercices..................................................... 205 Chapitre 6. Calcul intégral sur les variétés 209 6.1 Intégrale d'une d-forme sur une variété orientée de dimension d .... .. 210 6.2 Théorème de Stokes........................................... 216 6.3 Premières applications du théorème de Stokes. .................. .. 221 6.4 Forme volume canonique d'une sous-variété orientée d'un espace eucli­dien 226 6.5 Volume d'une sous-variété orientée d'un espace euclidien . . .. 230 6.6 Densité canonique d'une sous-variété d'un espace euclidien . . . . . . . .. 239 6.7 Volume des tubes 1: compléments sur les formes volumes ' 243 6.8 Volume des tubes Il 253 6.9 Volume des tubes III 259 6.10 Exercices ' 265 Chapitre7. Théoriedudegré.............................................. .. 272 7. 1 Lemmes préliminaires ; . . . . .. 273 7.2 Détermination de R'(X) ' 280 7.3 Degré........................................................ 283 7.4 Invariance du degré par homotopie. Applications. . . . . . . . . . . . . . . . .. 287 7.5 Volume des tubes (fin) et formule de Gauss-Bonnet 294 7.6 Degré des applications appartenant à CO(SI ; SI) .. 299 7.7 Indice d'un champ de vecteurs sur une variété abstraite 303 7.8 Exercices..................................................... 306 Chapitre8. Courbes.Théorie locale.... ......... .............. ............... 310 8.0 Introduction.................................................. 311 8.1 Définitions 312 8.2 Invariants affines: tangente, plan osculateur, concavité............. 317 8.3 Longueur, 1. a. paramétrisations d'une courbe d'un espace euclidien .. 323 8.4 Courbure d'une courbe d'un espace euclidien 326 8.5 Courbure algébrique d'une courbe plane orientée dans un plan orienté euclidien 331 8.6 Torsion des courbes birégulières d'un espace euclidien de dimension 3 . 334 8 . 7 Exercices................................................. 342 Chapitre 9. Coorbes planes. Théorie globale ' 352 9.1 Définitions................................................. .. 353 9.2 Théorème de Jordan ' , ' 357 9.3 L'inégalité isopérimétrique ' 363 9.4 Nombre d'enroulement d'une courbe plane 366 9.5 Turning tangent theorem ou Umlaufsatz 371 9.6 Convexité globale 375 9.7 Théorème des quatre sommets 379 9.8 La formule de Fabricius-Bjerre-Halpern 382 9.9 Exercices..................................................... 390 Chapitre 10. Petit guide pour la théorie locale des surfaces de R3 . .. 393 10. 1 Définitions.................................................. 394 10.2 Exemples 395 10.3 Les deux formes fondamentales d'une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 416 10.4 Ce que l'on peut faire avec la première fonne fondamentale (géométrie riemannienne en dimension 2) 418 10.5 La courbure de Gauss ' 429 10.6 La deuxième forme fondamentale et ce que l'on peut faire avec.. 436 10.7 Relations entre les deux formes fondamentales d'une surface 448 10.8 A propos des hypersurfaces de R'+l 450 Chapitre 11. Petit guide pour la théorie globale des surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 451 PREMIÈRE PARTIE: VARIÉTÉS RII!MANNII!NNI!S GLOBALES DE DIMENSION 2 . . . .. 453 Il . 1 Le problème global du plus court chemin 453 Il.2 Les surfaces à courbure constante........................... .. 455 Il . 3 Propriétés métriques : formules des variations première et seconde 457 Il.4 Unicité des plus courts chemins et rayon d'injectivité 459 11.5 Variétés à K ~ k............................................. 462 11 . 6 Variétés à K ~ k. .................................... .. .... .. 465 Il.7 Formules de Gauss-Bonnet et de Hopf.,.................... .. 466 Il . 8 L'inégalité isopérimétrique sur les surfaces 468 Il . 9 Les géodésiques périodiques et les inégalités isosystoliques . . . . . .. 469 Il.10 Les surfaces à géodésiques toutes périodiques 471 Il . 11 Transition entre les deux parties: problèmes de plongement et d'immer­sion...................................................... 472 DEUXIÈME PARTIE : SURFACES PLONGÉES ou IMMERGÉES DANS Ra . . . . . . . . . . . 474 11.12 Les surfaces à courbure nulle...... ... ...... ..... ...... 474 11.13 Les surfaces à courbure positive ou nulle.. .. .. . .. . .. .. .. . .. 475 Il.14 Résultats d'unicité et de rigidité 476 Il.15 Les surfaces à K <0 ... . ... . 477 Il . 16 Les surfaces à courbure moyenne nulle, alias surfaces minima 478 Il . 17 Les surfaces à courbure moyenne constante, alias bulles de savon 480 Il.18 Les surfaces de VVeingarten 482 11 . 19 Les surfaces comme enveloppes de plans: formulaire et applications .. 484 Il . 20 Les inégalités isopérimétriques poùr les surfaces 487 Il.21 Bouquet: propriétés caractéristiques de la sphère et des cyclides de Dupin 487 Bibliographie 493 Index terminologique . . . .. .. . . ... . . . . . ... .. .. . .. .. . .. . . ... . .. . . . . .. . . . .. 499 Index des notations .. .. . .. . . . . .. .. .. . . .. . . ... . .. . ... . . ... .. .. . . . .. . . . .. 509