Initiation aux probabilités et aux chaînes de Markov
Ce cours, qui s'adresse aux étudiants des universités et des grandes écoles, donne les éléments de la théorie des probabilités utiles à la compréhension des modèles probabilistes de leurs spécialités respectives, ainsi que la pratique du calcul des probabilités nécessaire à l'exploitation de ces modèles.Cette initiation aux [...]
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Auteur : Pierre BRÉMAUD
Editeur : Springer Verlag
Date parution : 01/2009 (2ème édition)sous 4 à 8 jours
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Quel est le sujet du livre "Initiation aux probabilités et aux chaînes de Markov"
Ce cours, qui s'adresse aux étudiants des universités et des grandes écoles, donne les éléments de la théorie des probabilités utiles à la compréhension des modèles probabilistes de leurs spécialités respectives, ainsi que la pratique du calcul des probabilités nécessaire à l'exploitation de ces modèles.
Cette initiation aux probabilités comporte trois degrés: le calcul des probabilités, la théorie des probabilités, les chaînes de Markov.
La première partie du cours introduit les notions essentielles: événements, probabilité, variable aléatoire, probabilité conditionnelle, indépendance. L'accent est mis sur les outils de base (fonction génératrice, fonction caractéristique) et le calcul des probabilités (règles de Bayes, changement de variable, calcul sur les matrices de covariance et les vecteurs gaussiens). Un court chapitre est consacré à la notion d'entropie et à sa signification en théorie des communications et en physique statistique. Le seul prérequis pour cette première étape est une connaissance pratique des séries, de l'intégrale de Riemann et de l'algèbre matricielle.
La deuxième partie concerne la théorie des probabilités proprement dite. Elle débute par un résumé motivé des résultats de la théorie de l'intégration de Lebesgue, qui fournit le cadre mathématique de la théorie axiomatique des probabilités et précise les points techniques laissés provisoirement dans l'ombre dans la première partie.
Puis vient un chapitre où sont étudiées les différentes notions de convergence, et dans lequel sont présentés les deux sommets de la théorie, la loi forte des grands nombres et le théorème de la limite gaussienne.
Le chapitre final, qui constitue à lui seul la troisième étape de l'initiation, traite des chaînes de Markov, la plus importante classe de processus stochastiques pour les applications. En fin de chaque chapitre se trouve une section d'exercices, la plupart corrigés, sauf ceux marqués d'un astérisque.
Sommaire et contenu du livre "Initiation aux probabilités et aux chaînes de Markov"
Table des mati?s1 La notion de probabilit?
1.1
?reuves, ?nements et variables al?oires 1
1.2
??ments probabilisables et probabilit?8
1.3
Probabilit?onditionnelle et ind?ndance 18
1.4
Exercices................... 30
2 Variables al?oires discr?s 35
2.1
Distributions de probabilit?iscr?s 35
2.2
Esp?nce ....... 40
2.3
Fonctions g?ratrices 49
2.4
Exercices ..... 57
3 Vecteurs al?oires 61
3.1
Distribution des vecteurs al?oires . 61
3.2
?hantillonnage de distributions de probabilit?79
3.3
Corr?tion et r?ession lin?re. 83
3.4
Vecteurs al?oires gaussiens 90
3.5
Exercices . 98
4 Esp?nce conditionnelle 105
4.1
D?nitions et propri?s ?mentaires 105
4.2
Conditionnement des vecteurs gaussiens 113
4.3
Tests d'hypoth?s bay?ennes 114
4.4
Exercices............. 122
5 Information et entropie 125
5.1
L'in?lit?e Gibbs . 125
5.2
Suites typiques et compression des donn? . 127
5.3
Codagedesource .......... 130
5.4
Autres interpr?tions de l'entropie 138
lA()
5.5 Exercices
6 L'esp?nce comme int?ale 145
6.1
R?m?e la th?ie de l'int?ation 145
6.2
Les grands th??s 155
6.3
Probabilit?161
6.4
Exercices....... 173
7 Suites de variables al?oires 177
7.1
Convergence presque-s?177
7.2
Convergence en distribution 190
7.3
Autres types de convergence 195
7.4
Exercices . 198
8 Cha?s de Markov 203
8.1
La matrice de transition 203
8.2
R?rrence........ 222
8.3
Comportement asymptotique 235
8.4
M?ode de Monte Carlo 244
8.5
Exercices....... 247
SOLUTIONS DES EXERCICES 255
INDEX 307
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