Introduction à la théorie des groupes de Lie réels - ellipses - 9782729830687 -
Introduction à la théorie des groupes de Lie réels 

Introduction à la théorie des groupes de Lie réels
Niveau M1 - M2.

Les groupes de Lie s'introduisent naturellement dans de nombreuses questions de mathématiques pures et appliquées. Créée à l'origine au XIXe siècle par le mathématicien norvégien Sophus Lie, la théorie a été développée tout au long du XXe siècle en parallèle avec les progrès de l'algèbre, de la topologie et de la géométrie [...]
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Auteur : 

Editeur : Ellipses

Collection : Mathématiques à l'Université

Date parution :

Reliure :
Broché
Nbr de pages :
370
ISBN 10 :
2729830685
ISBN 13 :
9782729830687
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Quel est le sujet du livre "Introduction à la théorie des groupes de Lie réels"

Les groupes de Lie s'introduisent naturellement dans de nombreuses questions de mathématiques pures et appliquées.

Créée à l'origine au XIXe siècle par le mathématicien norvégien Sophus Lie, la théorie a été développée tout au long du XXe siècle en parallèle avec les progrès de l'algèbre, de la topologie et de la géométrie différentielle et aussi sous l'impulsion des recherches en physique et en mécanique théorique.

Ce livre s'adresse principalement aux étudiants de masser de mathématiques de physique ou de mécanique.

S'agissant d'un sujet réclamant inévitablement un certain nombre de connaissances préalables nous avons rendu l'ouvrage plus accessible en y incluant des annexes décrivant de façon synthétique le cadre général des théories auxquelles il est indispensable de se référer ainsi que les résultats préliminaires étrangers à la théorie des groupes de Lie proprement dite mais intervenant dans son développement.

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Sommaire et contenu du livre "Introduction à la théorie des groupes de Lie réels - Niveau M1 - M2."

Table des matières 1 Généralités sur les groupes de Lie 1 1 Définitions.......... 2 2 Exemples de groupes de Lie ... 6 II Algèbre de Lie et représentation adjointe 21 1 L'algèbre de Lie des champs de vecteurs sur une variété . 21 2 Première forme de la définition de l'algèbre de Lie 24 3 Secondeformedeladéfinition . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Remarques........................ 26 5 Algèbres de Lie des sous-groupes de Lie et des groupes produit. 27 6 La représentation coadjointe . . . . . . . . . . . . . 29 7 Exemples d'algèbres de Lie . 30 8 Calcul formel en coordonnées dans un groupe de Lie . 34 9 Algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie d'un groupe. 38 III Formes différentielles de Maurer-Cartan 43 1 Définitiondesformesdroiteet gauche . . . . . . . . . . . . . . . 43 2 Parallélisations des fibrés tangent et cotangent d'un groupe de Lie 46 3 Différentielles droites et gauches . . . 47 4 Mesures de Haar sur un groupe de Lie . . . . . 50 IV L'application exponentielle d'un groupe de Lie 55 1 Sous-groupes à un paramètre et champs de vecteurs invariants 55 2 Définition de l'exponentielle . . . . . . . . . . . . 57 3 Application exponentielle d'un sous-groupe de Lie 59 4 Exemples d'applications exponentielles . 60 5 Formule de Taylor dans un groupe de Lie . 64 6 Différentielles droite et gauche et dérivées de Lie 65 7 Différentielles de la représentation adjointe ... 65 8 Différentielles droite et gauche de l'exponentielle 68 9 Coordonnées canoniques . . . . . . . . . 73 10 Formule de Campbell-Hausdorff-Dynkin ... 74 V Opération d'un groupe de Lie sur une variété 79 1 Généralités sur les opérations de groupes. . . . . . . . . . 79 2 Groupe de Lie opérant une variété, champs fondamentaux. 81 3 ActiondeGsurlesfonctions . . . . . . . . . . . . . . . 87 4 Interprétation cinématique . 88 5 Action d'un groupe de Lie sur une variété symplectique. 89 6 Fibrés principaux Q4 6.1. Construction d'un fibré principal par recolement de fibrés triviaux. 98 6.2. Construction d'un fibré principal à partir d'un cocycle . 99 6.3. Théorème d'existence de la structure de fibré principal. . 100 VI Homomorphismes et représentations 103 1 Homomorphismes de groupes de Lie . 103 2 Représentations linéaires . . . . . . . 106 3 Quelquesexemples . . . . . . . . . . 108 4 Représentations des groupes compacts: compléments . 114 VII Produits semi-directs 119 1 Produits semi-directs, aspects algébriques 119 2 Produit semi-direct de groupes de Lie 120 3 Exemples de produits semi-directs .... 122 VIII Espaces tangent et cotangent d'un groupe de Lie 125 1 Groupetangent d'ungroupede Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2 Second groupe tangent d'un groupe de Lie. . . . . . . . . . . . . 126 3 Structure symplectique de l'espace cotangent d'un groupe de Lie. 128 4 Systèmes hamiltoniens sur T*G 130 IX Relations entre sous-groupes et sous-algèbres de Lie 135 1 Introduction . . . . . . 135 2 Sous-groupes intégraux . . . . . 137 3 Sous-groupes fermés . . . . . . 140 4 Normalisateurs et centralisateurs 143 5 Groupe adjoint d'un groupe de Lie 145 6 Groupe des commutateurs d'un groupe de Lie connexe 146 7 Série dérivée et série centrale d'un groupe de Lie connexe. 148 8 Un critère de différentiabilité des homomorphismes 150 X Quotients, espaces homogènes 151 1 Structure différentielle d'un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2 Décomposition canonique des homomorphismes de groupes de Lie. 158 3 Structuredifférentielledesorbites . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4 Structure symplectique des orbites de la représentation coadjointe 162 5 Complément: structure de Poisson sur g* . . . . . . . . . . . . . 165 XI Le groupe de Poincaré d'un groupe de Lie connexe 167 1 Groupe de Poincaré d'un espace topologique, rappels 167 2 Commutativité du groupe de Poincaré d'un groupe de Lie. 169 3 Prolongement des homomorphismes locaux . . . . . . . . 172 XII Revêtements des groupes de Lie 177 1 Généralités sur les revêtements 177 2 CasdesgroupesdeLie . . . . . 181 XIII Groupe des automorphismes d'un groupe de Lie 189 1 Relation entre Aut(G) et Aut(G) . 189 2 Relations Aut(G) et Aut(g), structure de Aut(G) 190 3 Application aux produits semi-directs 191 4 Compléments ................... 194 XIV Connexions linéaires invariantes sur un groupe de Lie 195 1 Généralités sur la notion de connexion 195 2 Connexionscanoniques ................. 197 3 Connexions bi-invariantes . 202 4 Connexion de Levi-Civita associée à une structure riemanienne invariante 203 5 Structures pseudo-riemanniennes bi-invariantes 206 6 Théorème de H. Weyl . 209 XV Aperçu sur quelques types de groupes de Lie 211 1 Détermination des groupes de Lie commutatifs connexes 211 2 Groupes de Lie nilpotents et résolubles. 211 2.1. Groupes de Lie nilpotents . 212 2.2. Groupes de Lie résolubles . 216 2.3. Complément: radical d'un groupe de Lie 217 3 Groupes de Lie seITÙ-simples . . . . . . . . . . . 218 4 Groupes de Lie compacts: tores maximaux . . . 220 4.1. Tores maximaux d'un groupe de Lie compact. . 221 4.2. Théorème de conjugaison des tores maximaux 222 4.3. Centralisateur et normalisateur d'un tore .. 225 5 Groupes de Lie seITÙ-simples et groupes compacts . 228 XVI Géométrie différentielle des fibrés principaux 233 1 Champs de vecteurs fondamentaux d'un fibré principal 233 2 Connexions dans un fibré principal . . . . . . . . . . . 234 2.1. Champs de vecteurs horizontaux, relèvements . 236 2.2. Courbure d'une connexion principale 238 2.3. Expressions locales d'une connexion 239 3 Fibré des repères et connexions linéaires . 240 3.1. Dérivation covariante .... 243 3.2. Parallèlisme et géodésiques 248 XVII Note historique 249 1 La notion de groupe . 249 2 Sophus Lie . 250 2.1. La collaboration entre Lie et Klein . 251 2.2. L'influence des travaux de Jacobi . 252 2.3. Naissance de la théorie des groupes continus 254 3 Les travaux de Killing sur la classification des algèbres de Lie 257 4 Les travaux d'Elie Cartan sur les algèbres de Lie . 259 5 Autres travaux sur les algèbres de Lie . 260 6 Delathéorielocale àlathéorieglobale . . . . . . . . . . . . 261 7 Lie et les mathématiciens de Paris du début du XXème siècle 263 8 Travaux sur les fibrés principaux et physique. . . . . . . . . . 264 A Généralités sur les algèbres de Lie 265 1 Définitions....................... 265 2 Série centrale et série dérivée d'une algèbre de Lie . 269 3 Extension du corps des scalaires d'une algèbre de Lie 271 4 Formes réelles d'une algèbre de Lie complexe. . . . 273 5 Représentations linéaires d'algèbres de Lie ..... 274 6 Formes bilinéaires invariantes sur une algèbre de Lie, forme de Killing. 277 7 Algèbres de Lie semi-simples. . . . . 279 8 Représentations semi-simples. . . . . 283 9 Produit semi-direct d'algèbres de Lie. 283 10 Théorèmes de Levi-Maltsev et d' Ado 284 Il Algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie 285 B Généralités sur les groupes topologiques 287 Définitions.............. 287 1.1. Sous-groupes topologiques. . . . 288 1.2. Groupes quotients 289 2 Groupe topologique opérant continûment 290 3 Groupe localement compact opérant proprement. 291 4 Sous-groupes et groupes quotients du groupe ]Rn 294 4.1. Sous-groupes discrets de ]Rn 294 4.2. Sous-groupes fermés de]Rn . 296 4.3. Sous-groupes de zn ..... 297 4.4. Sous-groupes associés de]Rn . 299 4.5. Structure des groupes quotient de ]Rn et de '[n . 300 4.6. Image dans '[n d'un sous-espace vectoriel de ]Rn 302 C Variétés différentielles 303 1 Fonctions analytiques . 303 2 Variétés différentielles 307 3 Fibrés vectoriels . . . . 308 4 Subimmersions, immersions, submersions 312 4.1. Structure locale des subirnmersions 313 4.2. Deux critères de différentiabilité . 314 5 Sous-variétés et sous-variétés immergées. 315 6 Théorème du plongement . . . . 318 7 Systèmes différentiels . . . . . . . . . . . 320 7.1. Théorème de Frobenius. . . . . . 320 7.2. Structure des intégrales d'une distribution involutive 323 7.3. Un critère de différentiabilité. . . . . . . . . . . . . 325 Exercices 327 Bibliographie 365 Index 367

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