Invitation à la topologie algébrique
Tome I : Homologie
Ce livre, en deux tomes, est une introduction à la topologie algébrique et plus particulièrement à la théorie de l'homologie.Celle-ci associe à chaque espace topologique un module dont les propriétés algébriques reflètent celles de l'espace considéré. Nous l'appliquons principalement à l'étude des variétés, qui interviennent de manière fondamentale tant en [...]
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Auteur : Alain JEANNERET , Daniel LINES
Editeur : Cepadues
Collection : Mathématiques et Applications
Date parution : 08/2014sous 4 à 8 jours
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Quel est le sujet du livre "Invitation à la topologie algébrique"
Ce livre, en deux tomes, est une introduction à la topologie algébrique et plus particulièrement à la théorie de l'homologie.
Celle-ci associe à chaque espace topologique un module dont les propriétés algébriques reflètent celles de l'espace considéré. Nous l'appliquons principalement à l'étude des variétés, qui interviennent de manière fondamentale tant en mathématiques qu'en physique. Nous discutons de manière détaillée les divers concepts de dimension et d'orientation des variétés et établissons les résultats fondamentaux que sont les dualités de Poincaré et de Lefschetz. Le dernier chapitre du Tome II contient un panorama des résultats spectaculaires obtenus depuis les années soixante du siècle dernier concernant les variétés.
Nous donnons dans les deux premiers chapitres du Tome I des compléments aux notions de base de la topologie générale et de la théorie des modules. Nous introduisons les homologies simpliciale et singulière, déterminons les modules d'homologie de nombreux espaces tels que les sphères, les surfaces et les espaces projectifs, et démontrons quelques théorèmes classiques de topologie comme ceux de Jordan et de Brouwer.
Cet ouvrage sera utile pour un cours de niveaux master et doctorat ainsi que pour une étude individuelle de ces matières, y compris par des mathématiciens plus confirmés dont la topologie algébrique n'est pas le sujet principal de recherche.
Alain Jeanneret est professeur de mathématiques à l'Université de Berne. Daniel Lines a été professeur de mathématiques à l'Université de Bourgogne.
En suivant ce lien, retrouvez tous les livres dans la spécialité Classes prépas.Sommaire et contenu du livre "Invitation à la topologie algébrique - Tome I : Homologie"
COMPLEMENTS DE TOPOLOGIETopologie générale
Quelques espaces topologiques
Quelques homéomorphismes
Topologie quotient et recollements
Actions de groupes
Homotopie
Groupe fondamental
Revêtements
Variétés topologiques
Espaces projectifs
Surfaces
Exercices
COMPLEMENTS D'ALGEBRE
Produit libre de groupes
Modules
Module des homomorphismes
Applications bilinéaires
Produit tensoriel
Extension des coefficients et adjonction
Catégories et foncteurs
Exercices
COMPLEXES SIMPLICIAUX
Définition des complexes simpliciaux
Topologie des complexes simpliciaux
Subdivisions
Exercices
HOMOLOGIE SIMPLICIALE
Définition de l'homologie simpliciale
La Question de l'invariance topologique de l'homologie simpliciale
Exercices
COMPLEXES DE CHAINES ALGEBRIQUES I
Suite exacte longue en homologie
Complexes de chaînes augmentés
Exercices
PROPRIETES DE L'HOMOLOGIE SIMPLICIALE
Suite de Mayer-Vietoris
Suite exacte longue d'une paire et d'un triple
Excision
Exercices
HOMOLOGIE SINGULIERE
Définition de l'homologie singulière
Groupe fondamental et premier groupe d'homologie singulière
Homologie singulière relative
Exercices
INVARIANCE HOMOTOPIQUE DE L'HOMOLOGIE SINGULIERE
Modèles acycliques
Invariance d'homotopie
METHODES DE CALCUL DES GROUPES D'HOMOLOGIE SINGULIERE
Excision
Suite de Mayer-Vietoris
Attachement de cellules
Exercices
APPLICATIONS DE L'HOMOLOGIE
Théorèmes de Brouwer et de Jordan
Degrés des applications entre sphères
Homologie locale
Exercices
HOMOLOGIE DES POLYEDRES
Complexes simpliciaux et homologie singulière
Approximations simpliciales
Polyèdres
Exercices
COMPLEXES DE CHAINES ALGEBRIQUES II
Produit tensoriel de complexes de chaînes
Résolutions
Théorème de Künneth, cas algébrique
Extension des coefficients
Exercices
HOMOLOGIE A COEFFICIENTS
Définitions
Propriétés de l'homologie singulière et simpliciale à coefficients
Coefficients universels, cas topologique
Caractéristique d'Euler et nombre de Lefschetz
Exercices
HOMOLOGIE D'UN PRODUIT D'ESPACES
Le Cas absolu
Le Cas relatif
