Distributions, Analyse microlocale, Équations aux dérivées partielles
Cet ouvrage présente d'abord la théorie des distributions de L. Schwartz et la théorie hilbertienne des espaces de S. Sobolev. Le troisième chapitre est consacré à l'étude des opérateurs pseudodifférentiels et des opérateurs intégraux de Fourier de L. Hörmander. Ces trois premiers chapitres constituent un préalable indispensable à [...]
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Auteur : Claude WAGSCHAL
Editeur : Hermann
Collection : Méthodes
Date parution : 11/2010CB Google/Apple Pay, Chèque, Virement
Quel est le sujet du livre "Distributions, Analyse microlocale, Équations aux dérivées partielles"
Cet ouvrage présente d'abord la théorie des distributions de L. Schwartz et la théorie hilbertienne des espaces de S. Sobolev.
Le troisième chapitre est consacré à l'étude des opérateurs pseudodifférentiels et des opérateurs intégraux de Fourier de L. Hörmander. Ces trois premiers chapitres constituent un préalable indispensable à l'étude des équations aux dérivées partielles à laquelle est consacré le dernier chapitre.
On étudie les problèmes aux limites vérifiant la condition de Lopatinski selon une méthode de J. Peetre, le problème de Cauchy strictement hyperbolique (J. Leray, L. Garding) et la propagation des singularités : propagation du front d'onde dans le cas réel et, dans le domaine complexe, ramification au voisinage des points caractéristiques de l'hypersurface initiale (J. Leray) et au voisinage des singularités des données (problème de Cauchy ramifié). On étudie enfin les problèmes de Goursat et les problèmes de Cauchy fuchsiens associés aux opérateurs de Baouendi-Goulaouic
Publics : Étudiants des Universités, Master, Doctorants, Élèves-Ingénieurs.
Sommaire et contenu du livre "Distributions, Analyse microlocale, Équations aux dérivées partielles"
Table des matières1 Distributions 1
Sonunaire 3
A Définitions 5
1.1
Définition et exemples 5
1.2
Topologies faible et forte Il
1.3
Distributions d'ordre fini 14
B Opérations élémentaires et propriétés 18
lA Introduction. 18
1.5
Multiplication....... 19
1.6
Dérivation......... 20
1.7
Dérivation en dimension 1 25
1.8
Dérivation en dimension supérieure 32
1.9
Restriction, support . . . . . . . 36
1.10
Recollement de distributions .. 40
1.11
Distributions à support compact 42
1.12
Théorèmes de structure . . . . . 49
C Distributions tempérées 54
1.13
Distributions tempérées . 54
1.14
Structure des distributions tempérées . 58
1.15
Transformation de Fourier . 60
D Produit tensoriel, convolution 67
1.16
Produit tensoriel de distributions 67
1.17Convolution........... 75
1.18
Régularisation par convolution . 84
1.19
Convolution et transformation de Fourier. 88
1.20
Distributions dont les dérivées premières sont données 91
E Noyaux distributions 95
1.21
Opérateurs linéaires et noyaux 95
1.22
Opérateur propre . . . 99
1.23
Opérateur régularisant 106
F Corrigé des exercices 113
1.24
Exercices du chapitre I.A . 113
1.25
Exercices du chapitre 1.B . 117
1.26
Exercices du chapitre I.C . 140
1.27
Exercices du chapitre I.D . 147
2 Espaces de Sobolev 153
Sommaire 155
A Espaces de Sobolev 158
2.1
Espaces H8, sE Z . 158
2.2
Le problème de Dirichlet pour le laplacien 166
2.3
Le théorème de Rellich . 169
2.4
Formulation variationnelle du problème de Dirichlet. 172
2.5
L'inégalité de Garding . 176
2.6
Espaces de Sobolev H8(lRn ), sE lR, 182
2.7
Espaces Htoc . 194
2.8
Régularité intérieure . 201
2.9
Théorème de trace sur un hyperplan . 207
2.10
Espaces de Sobolev dans un demi-espace 212
2.11
EspaceH&(lR+') . 220
2.12
Espaces H 8 (fi) . 229
2.13
Espaces de Sobolev sur une variété . 235
2.14
Régularité jusqu'au bord . 248
B Corrigé des exercices 258
2.15
Exercices du chapitre 2.A . 258
3 Analyse microlocale 273
Sommaire 275
A Symboles 277
3.1
Introduction ..... 277
3.2
Espaces de symboles 278
3.3
Topologie de sm .. 280
3.4
Sommes asymptotiques 284
B Intégrales oscillantes 290
3.5
Le théorème fondamental 290
3.6
Support singulier . . . . 295
C Opérateurs intégraux de Fourier, opérateurs pseudo-différentiels 299
3.7
Opérateurs intégraux de Fourier .. 299
3.8
Opérateurs pseudo-différentiels. . . 304
3.9
Opérateur pseudo-différentiel propre 306
3.10
Symbole complet d'un o.p.d. 308
3.] 1 Composition d'o.p.d. . . . . . . . . 314
3.12
O.p.d. elliptique. . . . . . . . . . . 317
3.13
Action des o.p.d. sur les espaces de Sobolev 320
3.14
Le problème de Dirichlet . . . . . 325
3.15
Réduction de symboles multiples. 329
3.16
O.p.d. de symbole Sb' 335
3.17Frontd'onde............ 343
3.]8
Frontd'ondedesdistributionsI(a,rp) 351
3.19
O.p.d.etfront d'onde . . . . . . . . 355
4 Équations aux dérivées partielles 359
A Problèmes aux limites 364
4.
J Introduction................... 364
4.2
Étude d'une équation différentielle ordinaire. . 366
4.3
Minoration de l'opérateur dans un demi-espace 371
4.4
Minoration de l'opérateur dans un ouvert 383
4.5
Le théorème principal, application au problème de Neumann 390
B Problème de Cauchy strictement hyperbolique 392
4.6
Introduction............... 392
4.7
Opérateurs différentiels sesquilinéaires. 393
4.8
Opérateur hyperbolique 399
4.9
Inégalité d'énergie 406
4.10
Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . 4JO
4.11
Théorème de Radon-Nikodym vectoriel 418
4.12
Espaces H8,m ............ 423
4.
J3 Résolution du problème de Cauchy. 431
4.14
Vitesse fi nie de propagation . . . . . 437
4.15
Opérateurs bien décomposables 446
4.16
Paramétrix, propagation des singularités 450
C Propagation des singularités dans le domaine complexe 458
4.17
Introduction . 458
4.18
Systèmes d'équations aux dérivées partielles. 460
4.19
Le théorème d'uniformisation de 1. Leray .. 462
4.20
Problème de Cauchy ramifié . 467
4.21
Réduction à un problème intégro-différentiel . 469
4.22
Preuve du théorème 4.21.2 . 471
D Problème de Goursat holomorphe 476
4.23
Le théorème de Lednev . . 476
4.24
Preuve du théorème 4.23.1 .. 477
E Équations fuchsiennes de Baouendi-Goulaouic 480
4.25
Problème holomorphe. . . . . . . . 480
4.26
Problème partiellement holomorphe 486
Bibliographie 495
Notations 499
Index 503
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